[論文レビュー] Fourier Cosine and Sine Transform on fractal space

Guang-Sheng Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所的分数階微積分を用いて、次元 α のフラクタル空間上での局所的分数階フーリエ余弦および正弦変換を導入し、連続的なフラクタル関数を扱うために古典的変換を拡張する。本稿では、パーソヴァルの恒等式や畳み込み定理といった重要な性質を確立し、局所的分数階微分方程式の解法に応用する。2階の局所的分数階常微分方程式の解法を具体例として提示し、その解はミタグ・レフラー関数で表現される。

ABSTRACT

In this paper, we establish local fractional Fourier Cosine and Sine Transforms on fractal space, considered some properties of local fractional Cosine and Sine Transforms, show applications of local fractional Fourier Cosine and Sine transform to local fractional equations with local fractional derivative.

研究の動機と目的

• 局所的分数階微積分を用いて、次元 α のフラクタル集合上での局所的分数階フーリエ余弦および正弦変換を構築すること。
• これらの変換に対して、パーソヴァルの恒等式、畳み込み定理、逆変換公式といった基本的性質を確立すること。
• 局所的分数階微分を含む局所的分数階微分方程式を解くために、これらの変換を応用すること。
• 具体的な局所的分数階常微分方程式の解析的解を用いて、変換の有効性を示すこと。

提案手法

• 余弦および正弦関数のフラクタル集合上での偶関数および奇関数の対称性を活用して、局所的分数階フーリエ余弦および正弦積分公式を導出する。
• 積分 $ F_{\alpha,c}\{f(x)\} = \frac{2}{\Gamma(1+\alpha)}\int_0^\infty f(x)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(dx)^\alpha $ を用いて、局所的分数階フーリエ余弦変換を定義する。
• 逆局所的分数階フーリエ余弦変換を $ f(x) = \frac{2}{(2\pi)^\alpha}\int_0^\infty f_{\omega,c}^{F,\alpha}(\omega)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(d\omega)^\alpha $ として定義する。
• 2階の局所的分数階微分方程式と初期条件を解くために、局所的分数階フーリエ正弦変換を応用する。
• 局所的分数階正弦変換の線形性および変換則を用い、特に $ F_{\alpha,s}\{y^{(2\alpha)}(t)\} = -\omega^{2\alpha}F_{\alpha,s}\{y(t)\} + 2\omega^\alpha y(0) $ という恒等式を適用する。
• 部分分数分解と逆変換を用いて、解をミタグ・レフラー関数の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的フーリエ余弦および正弦変換は、局所的分数階微積分を用いて、次元 α のフラクタル集合上に定義された関数へどのように一般化できるか？
• RQ2 局所的分数階フーリエ余弦および正弦変換の基本的性質（パーソヴァルの恒等式、畳み込み定理など）は何か？
• RQ3 局所的分数階フーリエ正弦変換は、局所的分数階微分を含む微分方程式を効果的に解くために応用可能か？
• RQ4 局所的分数階正弦変換法を用いて、2階の局所的分数階常微分方程式の解析的解はどのように得られるか？

主な発見

• 局所的分数階フーリエ余弦変換は $ F_{\alpha,c}\{f(x)\} = \frac{2}{\Gamma(1+\alpha)}\int_0^\infty f(x)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(dx)^\alpha $ として定義され、対応する逆変換公式が存在する。
• 関数 $ E_\alpha(-at^\alpha) $ の局所的分数階正弦変換は $ \frac{2\omega^\alpha}{a^2 + \omega^{2\alpha}} $、余弦変換は $ \frac{2a}{a^2 + \omega^{2\alpha}} $ に等しい。
• 局所的分数階正弦変換におけるパーソヴァルの恒等式は $ \int_0^\infty |f_{\omega,s}^{F,\alpha}(\omega)|^2 (d\omega)^\alpha = \frac{(2\pi)^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)} \int_0^\infty |f(x)|^2 (dx)^\alpha $ である。
• 局所的分数階余弦変換における畳み込み定理は $ \int_0^\infty f_{\omega,s}^{F,\alpha}(\omega)g_{\omega,s}^{F,\alpha}(\omega)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(d\omega)^\alpha = \frac{(2\pi)^\alpha}{2\Gamma(1+\alpha)} \int_0^\infty f(\xi)[g(\xi+x)+g(\xi-x)](d\xi)^\alpha $ である。
• 初期条件 $ y(0) = y_0 $ を満たす局所的分数階常微分方程式 $ y^{(2\alpha)} - 9y(t) = 50E_\alpha(-2t^\alpha) $ の解は $ y(t) = (y_0 + 10)E_\alpha(-3t^\alpha) - 10E_\alpha(-2t^\alpha) $ に等しい。
• 変換領域において微分方程式を代数方程式に変換し、既知の変換ペアを用いて逆変換することで、この方法は微分方程式を効果的に解くことができた。