[論文レビュー] Fourier Eigenfunctions, Uncertainty Gabor Principle and Isoresolution Wavelets

L. R. Soares, H. M. de Oliveira+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

Image and Signal Denoising Methods参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、フーリエ固有関数から導出される波形不変性の性質に起因し、時間と周波数の分解能がバランスの取れた波ドレット（等分解能波ドレット）を導入する。主な貢献は、任意の波ドレット族を等分解能版に変換するスケーリングに基づく手法であり、時間分解能と周波数分解能が等しくなるように保証する。

ABSTRACT

Shape-invariant signals under Fourier transform are investigated leading to a class of eigenfunctions for the Fourier operator. The classical uncertainty Gabor-Heisenberg principle is revisited and the concept of isoresolution in joint time-frequency analysis is introduced. It is shown that any Fourier eigenfunction achieve isoresolution. It is shown that an isoresolution wavelet can be derived from each known wavelet family by a suitable scaling.

研究の動機と目的

• フーリエ変換に対して形状不変性を示す信号を調査し、時間領域および周波数領域の両方で同じ形を保つ固有関数のクラスを導出すること。
• 時間周波数解析の文脈において、ガボール＝ハイゼンベルク不確定性原理を再考し、等分解能をバランスの取れた分解能状態として定義すること。
• 既存の波ドレット族から最適スケーリングを用いて等分解能波ドレットを構築する手法を提案すること。
• フーリエ固有関数が本質的に等分解能を達成することを示し、新たな波ドレット設計の理論的基盤を提供すること。
• 微分方程式（マーティエ、レジェンドル、チェビシェフ型など）に基づいた、新たな直交的かつ形状不変な波ドレットの構築を検討すること。

提案手法

• 信号 $ f(t) $ が $ ilde{f}( u) = ilde{f}( u) $ を満たす条件を用いてフーリエ固有関数を導出する。これにより、$ f''(t) - t^2 f(t) = ilde{ u} f(t) $ という二階微分方程式が得られる。ここで $ ilde{ u} \neq 0 $ である。
• 信号の偶関数および奇関数成分への分解を用いて、フーリエ不変関数を構成する：$ h(t) = \tilde{\nu} \text{E}\big\bracevert f(t) \big\bracevert + \text{E}\big\bracevert F(\nu) \big\bracevert $ および $ h(t) = \tilde{\nu} \text{O}\big\bracevert f(t) \big\bracevert - \text{O}\big\bracevert F(\nu) \big\bracevert $。ここで $ \tilde{\nu} = \frac{1}{\tilde{\nu}} $ である。
• 等分解能を $ \triangle t = \triangle \nu $ として定義する。ここで $ \triangle t $ および $ \triangle \nu $ はそれぞれ有効な時間幅および周波数幅を表す。
• スペクトル類似性 $ F(\nu) = \tilde{\nu} f(\nu) $ に起因して $ \triangle t = \triangle \nu $ が成り立つことから、任意のフーリエ固有関数が等分解能を満たすことを証明する。
• 波ドレットの時間および周波数分解能を等しくするためのスケーリング変換 $ \tilde{\nu} = \frac{1}{\tilde{\nu}} \times \frac{1}{\tilde{\nu}} $、すなわち $ \tilde{\nu} = \frac{1}{\tilde{\nu}} $ を提案する。
• 波ドレットを再定義するために等分解能係数 $ \tilde{\nu} = \tilde{\nu} $ を適用する。例えば、メキシカン・ハット波ドレットは $ \tilde{\nu} = \frac{7}{15} \times \tilde{\nu} $ としてスケーリングされ、結果として $ \triangle t = \triangle \nu $ が達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの信号がフーリエ変換に対して形状不変であり、それらを特徴付ける微分方程式は何か？
• RQ2 時間周波数解析の文脈において、ガボール＝ハイゼンベルク不確定性原理をどのように再解釈すれば、時間と周波数の分解能をバランスさせられるか？
• RQ3 任意の波ドレット族を適切なスケーリング操作によって等分解能波ドレットに変換できるか？
• RQ4 波ドレットが時間と周波数の分解能を等しくするための数学的条件は何か？
• RQ5 フーリエ作用素の固有関数から、特にマーティエ関数やルジャンドル関数などの特殊関数から導かれる波ドレットを、新たな直交波ドレットとして構築できるか？

主な発見

• フーリエ固有関数は本質的に等分解能を達成しており、時間分解能と周波数分解能が等しくなる：$ \triangle t = \triangle \nu $。これはスペクトル類似性 $ F(\nu) = \tilde{\nu} f(\nu) $ に起因する。
• ガウス波ドレット（Gaus1）はフーリエ固有関数であり、等分解能を達成する。時間分解能と周波数分解能はともに 1.500000 に等しく、表1で確認されている。
• メキシカン・ハット波ドレットはスケーリング $ \tilde{\nu} = \frac{7}{15} \times \tilde{\nu} $ を用いることで等分解能版に変換可能であり、結果として $ \triangle t = \triangle \nu $ が達成される。
• 等分解能係数 $ \tilde{\nu} = \tilde{\nu} $ は $ \tilde{\nu} = \frac{1}{\tilde{\nu}} $ として導出され、任意の波ドレットの時間・周波数分解能のバランスをとるために使用される。
• 時間領域または周波数領域でコンパクトサポートを持つ波ドレットは、不確定性原理により同時に時間的・周波数的に制限された信号が存在しないことから、等分解能を達成できない。
• 提案手法により、フーリエ作用素の固有関数から新たな直交波ドレットを構築可能であり、これにより「ガボール＝シュレーディンガー波ドレット」または「量子波ドレット」とも呼べる新しいクラスの波ドレットが提案される。