[論文レビュー] Fourier-Mukai transform of vector bundles on surfaces to Hilbert scheme

Indranil Biswas, D. S. Nagaraj|arXiv (Cornell University)|May 20, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、代数閉体上の滑らかで射影的である表面 S 上のベクトル bundle から、その長さ d の部分スキームの Hilbert スキームへの Fourier-Mukai 変換の単射性を確立する。一般の線形系統内の曲線への制限と Harder-Narasimhan 分解の分析を用いて、Hilbert スキーム上での変換された bundle の同型が、元の S 上の bundle の同型を意味することを証明し、K3 およびアーベル多様体に対する先行研究を、代数閉体上での任意の滑らかな表面へと一般化する。

ABSTRACT

Let $S$ be an irreducible smooth projective surface defined over an algebraically closed field $k$. For a positive integer $d$, let ${ m Hilb}^d(S)$ be the Hilbert scheme parametrizing the zero-dimensional subschemes of $S$ of length $d$. For a vector bundle $E$ on $S$, let ${\mathcal H}(E)\, \longrightarrow\, { m Hilb}^d(S)$ be its Fourier--Mukai transform constructed using the structure sheaf of the universal subscheme of $S imes { m Hilb}^d(S)$ as the kernel. We prove that two vector bundles $E$ and $F$ on $S$ are isomorphic if the vector bundles ${\mathcal H}(E)$ and ${\mathcal H}(F)$ are isomorphic.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な表面 S 上のベクトル bundle から、その長さ d の部分スキームの Hilbert スキームへの Fourier-Mukai 変換が単射であるかどうかを特定すること。
• K3 多様体およびアーベル多様体に対する先行結果を、代数閉体上での任意の滑らかな射影的表面へ一般化すること。
• Hilbert スキーム上での変換された bundle の同型が、S 上の元の bundle の同型を意味することを確立すること。
• 線形系統内の一般の曲線への制限を用いて、問題を曲線上のベクトル bundle の場合に還元すること。

提案手法

• 普遍部分スキーム Z ⊂ S × Hilb^d(S) をカーネルとして用い、Hilb^d(S) 上の Fourier-Mukai 変換 H(E) を構成する。
• 射影 γ: S × Hilb^d(S) → Hilb^d(S) および β: S × Hilb^d(S) → S を用い、H(E) = γ_* (O_Z ⊗ β^*E) と定義する。
• S 上の豊富な線形束 L に対して、一般の滑らかな曲線 C ∈ |L^n| に変換を制限し、問題を対称積 Sym^d(C) の場合に還元する。
• 対角埋め込み φ: C → Sym^d(C) を通じた pullback φ^*H(E) を分析し、canonical bundle K_C の冪による twist を含むフィルトレーションを得る。
• pullback φ^*H(E) および φ^*H(F) の Harder-Narasimhan 分解を比較し、一般の C に対して制限 bundle ι^*E と ι^*F が同型であることを導く。
• コホホロジーの消滅および制限写像の全射性を用いて、C 上の同型を S 上に持ち上げ、行列式ライン bundle の議論により E ≅ F を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影的な表面 S 上のベクトル bundle から Hilb^d(S) 上のベクトル bundle への Fourier-Mukai 変換は単射か？
• RQ2 Hilbert スキーム上での変換された bundle H(E) と H(F) が同型であるとき、元の bundle E と F が S 上で同型であるか？
• RQ3 この単射性の結果を K3 多様体およびアーベル多様体を超えて、代数閉体上での任意の滑らかな射影的表面へ拡張できるか？
• RQ4 pullback φ^*H(E) の Harder-Narasimhan 分解は、S 上の元の bundle E の情報のどの程度を符号化するか？
• RQ5 |L^n| 内の一般の曲線の genus は、制限 bundle ι^*E の安定性特性にどのように影響するか？

主な発見

• Fourier-Mukai 変換 H: Vect(S) → Vect(Hilb^d(S)) は単射である：E ≅ F であることと H(E) ≅ H(F) であることは同値である。
• n ≥ ℓ に対して、一般の滑らかな曲線 C ∈ |L^n| に対して、H(E) ≅ H(F) ならば制限 bundle ι^*E と ι^*F は同型である。
• |L^n| 内の一般の曲線の genus は n に関して二次的に増加し、十分大きな n に対して μ_max − μ_min < 2(genus − 1) が成り立つ。
• 十分大きな n に対して、制限写像 H^0(S, F ⊗ E^*) → H^0(C, (F ⊗ E^*)|_C) は全射であり、C 上の同型を S 上に持ち上げることが可能である。
• 持ち上げられた準同型 ̃I の行列式は同型であるため、̃I は同型である。ゆえに E ≅ F である。
• 重要なステップとして、D(̃I) = 0（基点が存在しない）である。なぜなら C が豊富であり、D(̃I) ∩ C = ∅ であるからであり、これにより ̃I が同型であることが強制される。