[論文レビュー] Fourier Multiplier Norms of Spherical Functions on the Generalized Lorentz Groups

Troels Steenstrup|ArXiv.org|Nov 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$n \geq 2$ に対して一般化されたローレンツ群 $SO_0(1,n)$ 上の球関数の完全有界なフーリエ乗算子ノルムについて、表現論的および調和解析的手法を用いて閉形式の表現を提供する。主な結果は、これらのノルムがスペクトルパラメータの関数として有界でないことを示しており、これは一様な上界が存在しないことを意味する。この結果は $SU(1,n)$、$Sp(1,n)$、$F_{4(-20)}$ に拡張され、一様有界な表現の係数でない完全有界なフーリエ乗算子の存在が証明される。

ABSTRACT

Our main result provides a closed expression for the completely bounded Fourier multiplier norm of the spherical functions on the generalized Lorentz groups. As a corollary, we find that there is no uniform bound on the completely bounded Fourier multiplier norm of the spherical functions on the generalized Lorentz groups. We extend the latter result to the remaining connected, real rank one, simple Lie groups with finite center, and as an application we obtain that each of the above mentioned groups has a completely bounded Fourier multiplier, which is not the coefficient of a uniformly bounded representation of the group on a Hilbert space.

研究の動機と目的

• 一般化されたローレンツ群 $SO_0(1,n)$（$n \geq 2$）上での球関数の完全有界なフーリエ乗算子ノルムを計算すること。
• すべての球関数にわたるこれらのノルムに一様な上界が存在するかを特定すること。
• $SO_0(1,n)$ 上でのノルムの有界でなさの結果を、$SU(1,n)$、$Sp(1,n)$、$F_{4(-20)}$ などの他の単純なリー群に拡張すること。
• ヒルベルト空間上の一様有界ユニタリ表現の係数でない完全有界なフーリエ乗算子の存在を確立すること。

提案手法

• 完全有界なフーリエ乗算子の特徴付けとして、$G \to \mathscr{H}$ となる有界な写像 $P, Q$ が存在し、$\varphi(y^{-1}x) = \langle P(x), Q(y) \rangle$ を満たすことを利用する。
• $(SO_0(1,n), SO(n))$ のゲルファンド対構造を用いて、$K$-双不変な球関数を分析する。
• $K = SO(n)$ 上のハール測度を用いた積分表現を用い、乗算子ノルムを $K$ 上の平均として表現する。
• 特にガンマ関数を含む特殊関数論を用いて、ノルムの閉形式表現を導出する。
• 球関数の対称性および不変性の性質を活用し、ノルムの計算を群の陪集合上の測度論的平均に還元する。
• 他の群に対しても、それらの球関数理論および表現論的性質における構造的類似性を用いて結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたローレンツ群 $SO_0(1,n)$（$n \geq 2$）上での球関数の完全有界なフーリエ乗算子ノルムの正確な値は何か？
• RQ2 すべての球関数にわたる完全有界なフーリエ乗算子ノルムに一様な上界が存在するか？
• RQ3 $SO_0(1,n)$ 上での乗算子ノルムの有界でなさの結果を、$SU(1,n)$、$Sp(1,n)$、$F_{4(-20)}$ などの他の単純なリー群に拡張できるか？
• RQ4 有界でない完全有界なフーリエ乗算子の存在は、それらの乗算子を実現する一様有界な表現が存在しないことを示唆するか？

主な発見

• 球関数 $\varphi_s$ の完全有界なフーリエ乗算子ノルムは、ガンマ関数を含む閉形式で与えられる：\[ \|\varphi_s\|_{M_0A(G)} = \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2}+\mathrm{Re}(s)\right)\Gamma\left(\frac{m}{2}-\mathrm{Re}(s)\right)\Gamma\left(\frac{m}{2}+i\mathrm{Im}(s)\right)\Gamma\left(\frac{m}{2}-i\mathrm{Im}(s)\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)^2 \left|\Gamma\left(\frac{m}{2}+s\right)\Gamma\left(\frac{m}{2}-s\right)\right|} \] ここで $|\mathrm{Re}(s)| < \frac{m}{2}$ であり、$m = n-1$ である。
• $s = \pm \frac{m}{2}$ のとき、ノルムは正確に 1 に等しい。
• $\mathrm{Re}(s)$ が $\pm \frac{m}{2}$ に近づくにつれてノルムは無限大に発散するため、$SO_0(1,n)$ 上のすべての球関数にわたる一様な上界は存在しない。
• 有界でない性質は、$SU(1,n)$、$Sp(1,n)$（$n \geq 2$）および例外的群 $F_{4(-20)}$ に対しても拡張され、同様の現象がこれらの設定でも成立することが示される。
• その結果、これらの群上には、ヒルベルト空間上の一様有界な表現の係数でない完全有界なフーリエ乗算子が存在する。
• この構成は、離散部分群 $\Gamma$ からより大きな群 $\Gamma'$ に乗算子を拡張することに依拠しており、完全有界性を保ちつつ、それが一様有界な表現から生じえないことを保証する。