[論文レビュー] Fourier-Padé approximants for Angelesco systems

Manuel Bello-Hernández, G. López-Lagimasino+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2005

Mathematical functions and polynomials参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、不連続な compact な台を持つ測度によって定義される Angelesco システム—Markov 型関数の系列—に適用された線形および非線形フーリエ・パデ近似の収束速度を確立する。ポテンシャル論と測度の正則性条件を用いて、均衡測度およびエネルギー関数を用いて収束速度を導出し、直交多項式基底における多点有理近似に古典的パデ結果を一般化する。

ABSTRACT

In this paper we study linear and non-linear Fourier-Padé approximation for Angelesco systems of functions. This construction is similar to that of Hermite-Padé approximation. Instead of considering power series expansions of the functions in the system, we take their expansion in a series of orthogonal polynomials.

研究の動機と目的

• 離散的に支持される測度を持つ Markov 関数の系列に対する古典的パデ近似理論を拡張すること。
• このような系列における線形および非線形フーリエ・パデ近似の収束挙動を分析すること。
• グリーン関数や均衡測度などのポテンシャル論的量を用いて、収束速度を定量的に表現すること。
• 単一関数のパデ近似結果を直交多項式展開における多点有理近似に一般化すること。
• 下位の測度に対する正則性仮定の下で、近似の漸近的挙動を特徴付けること。

提案手法

• 離散的かつコンパクトに台を持つボレル測度と関連する m 個の Markov 関数の m-組として Angelesco システムを定義する。
• 基準測度 $\sigma_0$ に関する多項式空間への直交射影を用いて線形フーリエ・パデ近似を構築する。
• 分母多項式 $Q_{\mathbf{n}}$ の係数に関する同次線形方程式系として近似問題を定式化する。
• 誤差が $\sigma_0$-直交多項式と直交するようにする非線形系を解くことにより、非線形フーリエ・パデ近似を定義する。
• 漸近的挙動を分析するために、グリーン関数やエネルギー関数を含むポテンシャル論を用いる。
• 正則測度（Reg クラス）および均衡測度の概念を用いて、対数ポテンシャルおよび相互エネルギーを用いて収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Markov 関数の Angelesco システムに対する線形フーリエ・パデ近似の収束速度は何か？
• RQ2 このようなシステムに対して非線形フーリエ・パデ近似は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ3 収束速度は、グリーン関数や均衡測度などのポテンシャル論的量を用いて表現可能か？
• RQ4 下位の測度の正則性が収束速度を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 相互エネルギーおよびベクトル均衡問題は、近似の漸近的挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Angelesco システムの線形フーリエ・パデ近似は、各多重インデックス $\mathbf{n}$ に対して定数倍を除いて一意に定まる。
• 正則測度の下では、線形近似の収束速度は関連するポテンシャル論的問題の均衡測度によって支配される。
• 線形フーリエ・パデ近似の対角列の収束速度は、$\sigma_0$ の台の補集合に対するグリーン関数を用いて表現される。
• システムに関連するエネルギー関数 $J(\mu)$ は、一意なベクトル測度 $\overline{\mu}$ で最小値をとる。この $\overline{\mu}$ は均衡ポテンシャル解に対応する。
• 相互エネルギー $J(\mu^1, \mu^2)$ および総エネルギー $J(\mu)$ は弱位相において下半連続であり、最小化子の存在および一意性を保証する。
• ベクトル均衡測度 $\overline{\mu}$ は、すべての $x \in \text{supp}(\overline{\mu}_j)$ に対して $W_j^{\overline{\mu}}(x) = w_j^{\overline{\mu}}$ を満たす。これにより、均衡問題の解として特徴づけられる。