[論文レビュー] Fourier reconstruction for diffraction tomography of an object rotated into arbitrary orientations

Clemens Kirisits, Michael Quellmalz+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2021

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ひとこと要約

本稿では、任意の時間変化する方位にさらされるトラップ内を回転する剛体粒子の光学回折トモグラフィー（ODT）のための新規なフーリエ再構成法を提示する。既知の運動パラメータを活用し、ボーンまたはリトフ近似の下でフーリエ回折定理の厳密な分布的定式化を適用することで、非一様離散フーリエ変換を用いた効率的な3次元再構成が可能となるバックプロジェクション式を導出しており、不規則なサンプリングと複雑な運動に対しても『欠落する円錐』問題を効果的に解消する。

ABSTRACT

In this paper, we study the mathematical imaging problem of optical diffraction tomography (ODT) for the scenario of a microscopic rigid particle rotating in a trap created, for instance, by acoustic or optical forces. Under the influence of the inhomogeneous forces the particle carries out a time-dependent smooth, but complicated motion described by a set of affine transformations. The rotation of the particle enables one to record optical images from a wide range of angles, which largely eliminates the "missing cone problem" in optics. This advantage, however, comes at the price that the rotation axis in this scenario is not fixed, but continuously undergoes some variations, and that the rotation angles are not equally spaced, which is in contrast to standard tomographic reconstruction assumptions. In the present work, we assume that the time-dependent motion parameters are known, and that the particle's scattering potential is compatible with making the first order Born or Rytov approximation. We prove a Fourier diffraction theorem and derive novel backprojection formulae for the reconstruction of the scattering potential, which depends on the refractive index distribution inside the object, taking its complicated motion into account. This provides the basis for solving the ODT problem with an efficient non-uniform discrete Fourier transform.

研究の動機と目的

• 剛体粒子が非一様かつ時間依存的な運動をとるトラップ内に存在する場合の光学回折トモグラフィー（ODT）における3次元屈折率再構成の課題に対処すること。
• 回転による広角サンプリングを活用することで、従来のODTにおける『欠落する円錐問題』を、回転軸や回転角が不規則に分布している場合でも克服すること。
• 画像取得中の任意のアフィン変換（回転および平行移動）を考慮した、フーリエベース再構成の数学的に厳密なフレームワークを構築すること。
• 不規則なサンプリングおよび非一様な運動に適した、分布的定式化されたフーリエ回折定理を確立し、安定かつ高精度な再構成を可能とすること。
• 複雑かつ時間変化する粒子の運動が存在する中で、逆非等間隔離散フーリエ変換（NDFT）を用いた効率的な数値再構成の基盤を提供すること。

提案手法

• 弱散乱粒子を仮定し、1次ボーンまたはリトフ近似を用いて散乱問題を線形化することで、前向きモデルを定式化する。
• 測定された散乱場と散乱ポテンシャルの3次元フーリエ変換を結びつける、厳密な分布的バージョンのフーリエ回折定理を導出する。
• 時間依存する粒子の運動をアフィン変換として取り入れた、k空間（フーリエ空間）におけるバックプロジェクション式を導入する。
• k空間から物理的測定座標への変換におけるヤコビアン行列式の導出により、非一様なサンプリングを考慮した再構成が可能となる。
• 正則化や反復ソルバーを回避するため、逆非等間隔離散フーリエ変換（NDFT）を用いた効率的な数値再構成の手法を提案する。
• ルベーグの優越収束定理およびソボレフ埋め込み定理を用いて、近似列の極限における再構成式の収束を証明し、数学的安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様かつ時間依存的な回転を伴う剛体粒子の3次元散乱ポテンシャルは、回転が不均一で視認角度が不規則にサンプリングされた光学回折データからどのように再構成可能か？
• RQ2 光学回折トモグラフィーにおいて、任意の時間依存的粒子運動（アフィン変換）の下で、フーリエ回折定理の数学的定式化はどのように行われるか？
• RQ3 不規則なサンプリングの下で数学的厳密性と安定性を保証するため、分布的設定におけるバックプロジェクション式はどのように導出可能か？
• RQ4 k空間から物理的座標への変換のヤコビアン行列式は、非一様にサンプリングされたデータからの正確な再構成を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ5 逆非等間隔離散フーリエ変換（NDFT）は、正則化や反復最適化を要せず、散乱ポテンシャルの再構成に有効に用いることができるか？

主な発見

• 任意の時間変化する粒子運動を想定した光学回折トモグラフィーにおいて、不規則なサンプリングデータからの再構成を可能にする、厳密な分布的定式化されたフーリエ回折定理が確立された。
• 画像取得中の時間依存的アフィン変換（回転および平行移動）の全複雑性を考慮した、k空間における明示的なバックプロジェクション式が導出された。
• k空間から物理的座標への変換のヤコビアン行列式が閉形式で導出され、局所的可積分性および有界性が示された。これにより再構成プロセスの数学的妥当性が保証された。
• 近似列の極限における再構成法の安定性と収束性が確認され、ルベーグの優越収束定理およびソボレフ埋め込み定理を用いて証明された。
• 提案手法により、逆非等間隔離散フーリエ変換（NDFT）を用いた効率的3次元再構成が可能となり、反復的正則化やフル波形逆問題を回避できるようになった。
• 粒子の回転による広角サンプリングを活用することで、回転軸や回転角が均一に分布していない場合でも、ODTにおける『欠落する円錐問題』を効果的に軽減できた。