[論文レビュー] Fourier Theory on the Complex Plane V: Arbitrary-Parity Real Functions, Singular Generalized Functions and Locally Non-Integrable Functions

Jorge L. deLyra|arXiv (Cornell University)|May 9, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、可積分な実関数と内部正則関数の対応関係を拡張することで、任意のパリティを持つ実関数、特異な一般化関数（ディラックのデルタ関数およびその導関数を含む）、局所的に可積分でない関数へと、複素平面におけるフーリエ理論を一般化する。一般化関数を表す内部正則関数の再帰的関係を導入し、積分微分鎖を用いて、通常関数、特異関数、非可積分関数を統一的な解析的枠組みで統合する。

ABSTRACT

A previously established correspondence between definite-parity real functions and inner analytic functions is generalized to real functions without definite parity properties. The set of inner analytic functions that corresponds to the set of all integrable real functions is then extended to include a set of singular "generalized functions" by the side of the integrable real functions. A general definition of these generalized functions is proposed and explored. The generalized functions are introduced loosely in the spirit of the Schwartz theory of distributions, and include the Dirac delta "function" and its derivatives of all orders. The inner analytic functions corresponding to this infinite set of singular real objects are given by means of a recursion relation. The set of inner analytic functions is then further extended to include a certain class of non-integrable real functions. The concept of integral-differential chains is used to help to integrate both the normal functions and the singular generalized functions seamlessly into a single structure. It does the same for the class of non-integrable real functions just mentioned. This extended set of generalized functions also includes arbitrary real linear combinations of all these real objects. An interesting connection with the Dirichlet problem on the unit disk is established and explored.

研究の動機と目的

• 定義されたパリティを持つ実関数と内部正則関数の対応関係を、任意のパリティを持つ実関数へと一般化すること。
• 可積分な実関数の集合を、ディラックのデルタ関数やその導関数を含む特異な一般化関数へと拡張すること。
• 積分微分鎖を用いて、通常関数、特異関数、非可積分関数を統一的な枠組みで統合する方法を定義すること。
• 一般化関数の枠組みと単位円板上のディラック問題との間の関係を確立すること。
• ディラックのデルタ関数の高階導関数に対応する内部正則関数を再帰的代数的手法で計算する方法を提供すること。

提案手法

• 開単位円板内から単位円周へと、内部正則関数の実部および虚部の極限として一般化関数を定義し、一般化を提案する。
• 対数微分から導かれる再帰的関係を用いて、ディラックのデルタ関数およびその導関数に対応する内部正則関数を生成する。
• 一般化関数の内部正則関数をパラメータ化する多項式 $ P_n(\theta) $ に対する微分再帰関係を導入する。
• 多項式の係数を計算するための二重インデックス代数的再帰 $ A_{n,i} = (i+1)A_{n-1,i} + (n-i+1)A_{n-1,i-1} $ を適用する。
• 積分微分鎖を用いて、通常関数、特異な一般化関数、非可積分関数を一様に統合する構造へと滑らかに接続する。
• 任意のパリティのケースを扱うために、任意の実関数を偶関数部と奇関数部に分解する手法を用い、従来の定義されたパリティの結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実関数と内部正則関数の対応関係を、定義されたパリティを越えて、任意のパリティ関数へとどのように拡張できるか？
• RQ2 ディラックのデルタ関数やその導関数に対応する内部正則関数の構造はどのようなものか？
• RQ3 解析接続と積分微分鎖を用いて、通常関数、特異関数、非可積分関数を統一的に統合する枠組みを構築できるか？
• RQ4 一般化関数の内部正則関数をパラメータ化する多項式の係数を支配する再帰的関係は何か？
• RQ5 この一般化されたフーリエ理論は、単位円板上の古典的問題（例えばディラック問題）とどのように関係しているか？

主な発見

• 本稿は、ディラックのデルタ関数の $ n $ 階導関数に対応する内部正則関数の再帰的関係を確立した：$ w_{\nu^{(n+1)\backprime}}(\theta) = \boldmath{\text{i}} \, \theta \, \frac{d}{d\theta} w_{\nu^{(n)\backprime}}(\theta) $。
• 一般化関数の内部正則関数は、$ w_{\nu^{(n)\backprime}}(\theta) = \frac{\boldmath{i}^n}{\pi} \frac{\chi P_{n-1}(\chi)}{(\chi-1)^{n+1}} $ と表現され、ここで $ P_{n-1} $ は次数 $ n-1 $ の多項式である。
• 多項式 $ P_n(\chi) $ の係数 $ A_{n,i} $ は、二重インデックス再帰 $ A_{n,i} = (i+1)A_{n-1,i} + (n-i+1)A_{n-1,i-1} $ を満たし、$ A_{n,0} = A_{n,n} = 1 $ である。
• 最初のいくつかの多項式は明示的に計算されている：$ P_0(\chi) = 1 $、$ P_1(\chi) = 1+\chi $、$ P_2(\chi) = 1+4\chi+\chi^2 $、$ P_3(\chi) = 1+11\chi+11\chi^2+\chi^3 $、$ P_4(\chi) = 1+26\chi+66\chi^2+26\chi^3+\chi^4 $。
• 本フレームワークは、可積分関数、特異な一般化関数、および非可積分関数の任意の実係数線形結合を統合し、すべてを積分微分鎖によって統一的に扱う。
• 一般化関数の枠組みと単位円板上のディラック問題との明示的関係が確立され、より深い調和解析的意味が示唆されている。