[論文レビュー] Fourier tranform in exponential rearrangement invariant spaces

Eugeny Ostrovsky, L. Sirota|ArXiv.org|Jun 20, 2004

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、指数的再配列不変（r.i.）空間、特に指数的N関数を有するオルリッチ空間におけるフーリエ級数および変換の有界性と収束性を調査する。基本関数とノルム同値性に関する鋭い条件を確立し、部分フーリエ和の$L(N)$ノルム収束が閉包$L^0(N)$への属することを示し、一般化されたハウスドルフ＝ヤングおよびハーディー＝リトルウッドの技法を用いてモーメント不等式とウェーブレット／ハール級数の推定値を導出する。

ABSTRACT

In this article we investigate the Fourier series and transforms for the functions defined on the $ [0, 2 π]^ d $ or $ R^d $ and belonging to the exponential Orlicz and some other rearrangement invariant (r.i.) spaces.

研究の動機と目的

• 指数的オルリッチ空間および再配列不変（r.i.）空間におけるフーリエ級数および変換の収束性と有界性を分析すること。
• 部分フーリエ和が$L(N)$ノルムで収束する条件を特定すること、特に閉包$L^0(N)$への関連を含む。
• 基本関数$\theta(p)$および一般化されたオルリッチノルムを用いて鋭いモーメント不等式およびノルム同値性を導出すること。
• 古典的な不等式（ハウスドルフ＝ヤング、ハリー＝リトルウッド）を指数的オルリッチ空間に拡張し、ウェーブレットおよびハール級数に応用すること。

提案手法

• 著者らは、$W$を凸かつ増加関数とするとき、$|u| \geq e^2$に対して$N(u) = \exp(W(\log|u|))$を用いて指数的オルリッチ空間$EOS(W)$を定義する。
• $L(N)$におけるノルムを、$\|f\|_{L(N)} = \inf_{v>0} \left\{ v^{-1} \left(1 + \int_X N(v|f(x)|) \, \mu(dx) \right) \right\}$というルクセムブルグノルムの公式により定義する。
• 本稿では、$|x|^{p-2}$を含む重みを用いて、$f$の$L^p$ノルムとフーリエ変換$F[f]$の$L^p$ノルムとの関係を一般化されたハウスドルフ＝ヤングおよびハリー＝リトルウッド不等式を用いて導出する。
• $G(a,b,\alpha,\beta)$空間を導入し、減衰性と可積分性をモデル化し、$q \in (1,2]$に対して$(q-1)^{-\alpha}$を用いて$L^p$ノルムを$\|f\|_{G}$で制御する。
• ウェーブレットおよびハール級数のモーメント推定値を含む解析を行い、ハール級数では$K_6 = 13$、ウェーブレットでは$K_6 = 1$として、$\|P_M[f] - f\|_{L(N)} \leq (K_6 + 1) \|f\|_{L(N)}$が成り立つことを示す。
• 主な技術的アプローチは、$\psi(p) = \exp(W^*(p)/p)$の成長と$L(N)$における収束性との関係を、双対性および漸近的解析を用いて結びつけることである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $f \in L(N)$のとき、部分フーリエ和$s_M[f]$が$L(N)$ノルムで収束する条件は何か？
• RQ2 部分フーリエ級数の$L(N)$ノルム収束と、閉包$L^0(N)$への属性との関係は何か？
• RQ3 一般化されたハウスドルフ＝ヤングおよびハリー＝リトルウッド不等式は、$N \in EOF$を有する指数的オルリッチ空間にどのように拡張可能か？
• RQ4 ウェーブレットおよびハール級数における$L(N)$におけるモーメント推定値はどのように導出可能か？また、それらは基本関数$\psi(p)$にどのように依存するか？
• RQ5 $\lim_{p \to \infty} \theta(p)/\psi(p) = 0$である条件が、フーリエ級数の$L(N)$ノルム収束を示すのはいつか？

主な発見

• 部分フーリエ和$s_M[f]$が$L(N)$ノルムで収束するための必要十分条件は、$f \in L^0(N)$であることである。ここで$L^0(N)$は、有界な台を持つ有界関数の閉包である。
• $f \in L(N)$で$\|f\|_{L(N)} < \infty$のとき、$M \to \infty$の下で$\|s_M[f] - f\|_{L(N)} \to 0$となるのは、$f \in L^0(N)$である場合に限る。そうでない場合、ノルム収束は成立しない。
• $f \in G(1,b,\alpha,0)$のとき、フーリエ変換は$\|F[f]\|_p \leq (2\pi)^{1/2} p^\alpha$（$p \geq 2$）を満たし、$F[f] \in L(N_{1/\alpha})$が成り立つ。
• ウェーブレット部分和作用素は、$\|P_M[f] - f\|_{L(N)} \leq (K_6 + 1) \|f\|_{L(N)}$を満たし、ハール級数では$K_6 = 13$、ウェーブレットでは$K_6 = 1$である。この関係は$[0,1]$または$\mathbb{R}$上で成り立つ。
• $\lim_{p \to \infty} \theta(p)/\psi(p) > 0$である条件は、$L(\Phi)$ノルム収束を矛盾させる。ゆえに、収束が成立するならば$\psi(p)/\theta(p) \to 0$が成立する。
• $f \in L(N)$のとき、$f$の$L^p$ノルムは$|f|_p \leq C \cdot p \cdot \psi(p)$（$\psi(p) = \exp(W^*(p)/p)$）を満たし、$f \in L(N_1[\psi])$が成り立つ。これは、$\psi(p)$の成長とオルリッチ空間への属性の関係を示している。