[論文レビュー] Fourier Transform of Rauzy Fractals and Point Spectrum of 1D Pisot Inflation Tilings

Michael Baake, Uwe Grimm|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1次元PisotインフレーションタイリングにおけるRauzyフラクタル窓のフーリエ変換を計算するための新しい行列Riesz積アプローチを提示する。これにより、その回折における純粋な点スペクトル成分および関連する力学系の固有関数の明示的計算が可能になる。この手法は内部空間における収縮的フーリエ行列コキューブに依拠し、無限行列積としての表現により、スペクトル量の迅速かつ計算効率の良い表現をもたらす。

ABSTRACT

Primitive inflation tilings of the real line with finitely many tiles of natural length and a Pisot--Vijayaraghavan unit as inflation factor are considered. We present an approach to the pure point part of their diffraction spectrum on the basis of a Fourier matrix cocycle in internal space. This cocycle leads to a transfer matrix equation and thus to a closed expression of matrix Riesz product type for the Fourier transforms of the windows for the covering model sets. In general, these windows are complicated Rauzy fractals and thus difficult to handle. Equivalently, this approach permits a construction of the (always continuously representable) eigenfunctions for the translation dynamical system induced by the inflation rule. We review and further develop the underlying theory, and illustrate it with the family of Pisa substitutions, with special emphasis on the Tribonacci case.

研究の動機と目的

• 有限なプロトタイルを有する1次元Pisotインフレーションタイリングの純粋な点スペクトル成分を構成的に計算するための手法を開発すること。
• トポロジカルに正規であるがフラクタル的かつ複雑なRauzyフラクタル窓のフーリエ変換を明示的に計算する困難を克服すること。
• フーリエ行列コキューブから導かれる行列Riesz積を用いて、これらの窓のフーリエ変換に対する閉形式で計算効率の良い表現を提供すること。
• インフレーション点集合のフーリエ–ボール係数とカバーイングモデル集合のそれとの間の直接的な関係を、一様分布を介して確立すること。
• 主な例として、TribonacciおよびPisa置換系を用いて手法を検証し、カバーイング次数を高次元に拡張すること。

提案手法

• インフレーション則と置換行列に基づき、内部空間におけるフーリエ行列コキューブを導入し、移行行列方程式を導出する。
• 反復された行列積の極限として定義される行列Riesz積を導入し、システムの収縮性により指数関数的に収束することが保証される。
• ミンコフスキー写像による内部空間埋め込みを用いて、タイリングを実ベクトル空間内の窓を持つカバーイングモデル集合として表現する。
• Rauzy窓のフーリエ変換を、極限コキューブ行列と正規化されたPerron–Frobenius固有ベクトルを含む行列内積として導出する。
• 元のタイリングのスペクトルデータとカバーイングモデル集合のそれとの間の関係を、一様分布の結果として確立する。
• 具体的な例（TribonacciおよびPisa置換）にこの手法を適用し、窓のフーリエ変換に対する閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元PisotインフレーションタイリングにおけるRauzyフラクタル窓のフーリエ変換は、そのフラクタル的複雑性にもかかわらず、閉形式でどのように計算可能か？
• RQ2 元のインフレーション点集合のフーリエ–ボール係数とカバーイングモデル集合のそれとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 このようなタイリングの純粋な点スペクトル成分は、行列に基づくアプローチを用いて明示的に計算可能か？
• RQ4 行列Riesz積の構成は、平行移動力学系の固有関数とどのように関係するか？
• RQ5 行列積表現の収束速度はどの程度か？ また、他の解析的表現と比較してどうか？

主な発見

• Rauzy窓のフーリエ変換は、C(y) = lim_{n→∞} |σ|^n B^{(n)}(y) の形の行列Riesz積として表現され、指数関数的に収束する。
• TribonacciおよびPisa置換系において、この手法により窓のフーリエ変換に対する明示的な閉形式表現が得られ、例えばW₁窓に対してf₁(y) = -∑_{n≥0} σ^{4n+1} e^{-πi(2σ+2σ^{4n}+σ^{4n+1})y} sinc(πσ^{4n+1}y) が得られる。
• 窓全体の長さvol(W₁)はτ/√5 ≈ (τ+2)/5であり、フーリエ変換のy=0における値と一致する。
• この手法により、2:1の因子写像を介して、元のタイリングのスペクトルデータとカバーイングモデル集合のスペクトルデータとの直接的な関係が確立され、スペクトルの転送が可能になる。
• 平行移動力学系の固有関数は連続的に表現可能であり、同じ行列コキューブアプローチにより計算可能である。
• 行列積の収束が著しく速いため、このアプローチは計算的にも効率的であり、スペクトル量を数値的・解析的に研究可能となる。