[論文レビュー] Fourier transform on locally compact quantum groups

Byung-Jay Kahng|ArXiv.org|Aug 22, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ハアール重みと乗法的ホップ代数フレームワークを用いて、局所コンパクトな量子群における一般化されたフーリエ変換およびその逆変換を導入し、古典的調和解析を拡張する。量子フーリエ逆変換定理、プランシュレル定理、畳み込み積の量子類似を確立するとともに、フーリエ変換とハアール重みを用いた双対ペアリングの新しい特徴付けを提供する。

ABSTRACT

The notion of Fourier transform is among the more important tools in analysis, which has been generalized in abstract harmonic analysis to the level of abelian locally compact groups. The aim of this paper is to further generalize the Fourier transform: Motivated by some recent works by Van Daele in the multiplier Hopf algebra framework, and by using the Haar weights, we define here the (generalized) Fourier transform and the inverse Fourier transform, at the level of locally compact quantum groups. We will then consider the analogues of the Fourier inversion theorem, Plancherel theorem, and the convolution product. Along the way, we also obtain an alternative description of the dual pairing map between a quantum group and its dual.

研究の動機と目的

• 双対性が非自明で、ヒルベルト空間が同型であるため変換が「隠されている」局所コンパクトな量子群の文脈において、古典的フーリエ変換を一般化すること。
• 従来の枠組みの制限を克服し、作用素代数レベルで実用的なフーリエ変換および逆フーリエ変換の概念を定義すること。
• フーリエ逆変換、プランシュレル定理、畳み込み積といった基本的結果の量子類似を確立すること。
• フーリエ変換とハアール重みを用いて、量子群とその双対との間の双対ペアリングを代替的かつ簡略化された形で記述すること。

提案手法

• 正規、半有限、忠実な（n.s.f.）重みと乗法的ユニタリ作用素に依存する、局所コンパクトな量子群のフォン・ノイマン代数的枠組みを用いる。
• 量子群およびその双対の要素にハアール重みが作用する形で、一般化されたフーリエ変換を定義する。
• 一般化されたポントリャーギン双対性を適用して、量子群とその双対を関連づけ、双対対象の自己双対性を保証する。
• 逆フーリエ変換を導出し、順変換との合成が恒等写像をもたらすことを証明することで、量子フーリエ逆変換定理を確立する。
• フーリエ変換を用いて、量子群の稠密部分代数とその双対との間の双対ペアリングを、ハアール重みと内積を用いて表現する。
• フーリエ変換から導かれる畳み込み積の公式を適用し、アーベルな場合に古典的畳み込みと整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間の同型により、群とその双対との間で同一視されるにもかかわらず、局所コンパクトな量子群においてフーリエ変換を意味的に定義することは可能か？
• RQ2 局所コンパクトな量子群の文脈において、古典的フーリエ逆変換定理およびプランシュレル定理の量子類似はどのように確立できるか？
• RQ3 フーリエ変換とハアール重みを用いて、量子群とその双対との間の双対ペアリングを再表現できるか？
• RQ4 この一般化された枠組みにおいて、量子群上の畳み込み積はフーリエ変換とどのように関係するか？
• RQ5 乗法的ユニタリ作用素と反作用素写像は、この文脈におけるフーリエ変換の定義において果たす役割は何か？

主な発見

• 一般化されたフーリエ変換は、量子フーリエ逆変換定理を満たす：順変換の後に逆変換を適用することで、元の要素が回復される。
• プランシュレル定理は、関数 $a$ の $L^2$-ノルムがそのフーリエ変換の $L^2$-ノルムに等しい形で成り立つ。すなわち、$\|a\|_2^2 = \hat{\varphi}(\mathcal{F}(\pi_a)^*\mathcal{F}(\pi_a))$ である。
• 関数 $a, c \in C_c(G)$ の畳み込み積は、$(a \ast c)(y) = \int a(x)c(x^{-1}y)\,dx$ で与えられ、古典的公式と整合的である。
• 双対空間の作用素 $L_b, L_d$ に対して、畳み込み積は $(b \ast d)(x) = b(x)d(x)$ を満たし、双対的図像において点ごとの乗法に対応する。
• 量子群の $\pi_a$ と $L_b$ の間の双対ペアリングは、$\langle L_b \mid \pi_a \rangle = \int a(x)b(x)\,dx$ として特徴付けられ、フーリエ変換とハアール重みを用いた新たな簡略化された表現が得られる。
• $L_b$ の逆フーリエ変換が $\pi_b$ に同定されることから、変換が $C_c(G)$ の関数に対して自明に作用することを示し、標準的な量子群枠組みにおけるフーリエ変換の「隠された」性質を説明する。