[論文レビュー] Fourth order curvature flows and geometric applications

Vincent Bour|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体上の4次曲率フローを検討し、曲率の$L^2$ノルムのような2次曲率汎関数の勾配フローに注目する。ヤマベ不変量に一様な正の下界が存在する場合、曲率が有界なまま多様体の崩壊による特異点は生じえない。代わりに、特異点は曲率が発散する場合にのみ生じる。発散する系列は、完全でバッチ平坦かつスカラー平坦な極限多様体に収束する。初期エネルギーが臨界閾値未満の場合、フローはすべての時間にわたり定義され、球面または実射影空間に収束する。これは、チャン、ガースキー、ヤンによる積分的ピンチング4次元多様体に関する結果の新たな証明を提供する。

ABSTRACT

We study a class of fourth order curvature flows on a compact Riemannian manifold, which includes the gradient flows of a number of quadratic geometric functionals, as for instance the L2 norm of the curvature. Such flows can develop a special kind of singularities, that could not appear in the Ricci flow, namely singularities where the manifold collapses with bounded curvature. We show that this phenomenon cannot occur if we assume a uniform positive lower bound on the Yamabe invariant. In particular, for a number of gradient flows in dimension four, such a lower bound exists if we assume a bound on the initial energy. This implies that these flows can only develop singularities where the curvature blows up, and that blowing-up sequences converge (up to a subsequence) to a "singularity model", namely a complete Bach-flat, scalar-flat manifold. We prove a rigidity result for those model manifolds and show that if the initial energy is smaller than an explicit bound, then no singularity can occur. Under those assumptions, the flow exists for all time, and converges up to a subsequence to the sphere or the real projective space. This gives an alternative proof, under a slightly stronger assumption, of a result from Chang, Gursky and Yang asserting that integral pinched 4-manifolds with positive Yamabe constant are space forms.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上の4次曲率フローを分析すること、特に$\mathcal{F}_{Rm}$、$\mathcal{F}_{Ric}$、$\mathcal{F}_2$のような2次曲率汎関数の勾配フローに注目すること。
• このようなフローにおける特異点の性質を理解すること、特に曲率が有界なまま多様体の崩壊が生じる可能性があるかどうかを検討すること。これはリッチフローとは異なり、発生しない。
• このようなフローが崩壊特異点を回避し、曲率発散特異点のみを示す条件を確立すること。
• ヤマベ不変量に一様な正の下界が存在する場合、発散する系列が完全でバッチ平坦かつスカラー平坦な極限多様体に収束することを証明すること。
• 初期エネルギーが明示的な閾値未満の場合、フローがすべての時間にわたり定義され、球面または実射影空間に収束することを示し、チャン、ガースキー、ヤンによる結果の別証明を提供すること。

提案手法

• 解析は、特に高階のソボレフ埋没に関する、コンパクトなリーマン多様体上のテンソル場のソボレフ型補間不等式に依存する。
• 本稿は、曲率テンソルの$H_k^m$、$H_k^p$、$H_{k+1}^q$ソボレフノルム間の$L^p$ノルム補間から得られる事前推定を用いる。
• 曲率およびその微分の点ごとのノルムを、$L^2$および高階のソボレフノルムによって制御するために、一般化されたソボレフ埋没定理を適用する。
• 主要結果の証明には、発散解析の技法を用いる：ある系列の計量が特異点を示すと仮定し、スケーリングにより極限多様体を構成し、それがバッチ平坦かつスカラー平坦でなければならないことを示す。
• 極限多様体の剛性は、有限エネルギーを持つ任意の完全でバッチ平坦かつスカラー平坦な多様体が空間形でなければならないことを示すことによって確立される。
• 全局的存続のエネルギー閾値は、$\mathcal{F}_2$の共形不変性と4次元におけるガウス・ボネットの公式から導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次曲率フローは、曲率が有界なまま多様体の崩壊によって特異点を生じうるか？ もしそうなら、どのような幾何的条件下でこれを除外できるか？
• RQ2 このようなフローで曲率が発散する場合に生じる特異点モデルの構造は何か？
• RQ3 初期エネルギーがどのような条件下で、フローがすべての時間にわたり定義され、空間形に収束するか？
• RQ4 ヤマベ不変量の正の性質は、4次曲率フローにおける崩壊型特異点の形成をどのように制約するか？
• RQ5 従来の結果よりも強いエネルギー条件のもとで、フローが球面または実射影空間に収束することが示せるか？

主な発見

• ヤマベ不変量が正の定数で一様に下から押さえられている場合、4次曲率フローは、曲率が有界なまま多様体の崩壊による特異点を生じえない。
• このようなフローにおける発散する系列は（部分列を除き）、完全でバッチ平坦かつスカラー平坦な多様体に収束する。これは特異点モデルである。
• 初期エネルギーが臨界閾値未満の場合、フローはすべての時間にわたり定義され、標準球面または実射影空間のいずれかに部分列を除き収束する。
• 臨界エネルギー閾値は、共形不変量と4次元におけるガウス・ボネットの公式によって明示的に決定される。
• 剛性結果により、有限エネルギーを持つ任意の完全でバッチ平坦かつスカラー平坦な多様体は空間形でなければならないことが示され、したがって可能な極限は球面または実射影空間に限られる。
• これは、チャン、ガースキー、ヤンによる結果の別証明を提供する。すなわち、正のヤマベ定数を持つ積分的ピンチング4次元多様体は空間形であるという結果が、やや強いエネルギー仮定のもとで再確認される。