[論文レビュー] Fourth order finite difference methods for the wave equation with mesh refinement interfaces

Siyang Wang, N. Anders Petersson|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Numerical methods in engineering参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、メッシュ細分化界面を伴う波動方程式に対して、和分ごとに積分（SBP）作用素を用いた4次精度の有限差分法を提示する。著者らは、ギャストポイントを有するSBP作用素とそれらを用いない作用素との間の新規な関係を活用し、界面の一方側でのみギャストポイントを用いる新しいSBP-GP法を開発した。これにより、システムのサイズを小さくし、条件数を改善しながらも、4次精度およびエネルギー安定性を維持する。この手法は、ペナルティ法に基づく手法と比較して、より大きな時間ステップを許容する。

ABSTRACT

We analyze two types of summation-by-parts finite difference operators for approximating the second derivative with variable coefficient. The first type uses ghost points, while the second type does not use any ghost points. A previously unexplored relation between the two types of summation-by-parts operators is investigated. By combining them we develop a new fourth order accurate finite difference discretization with hanging nodes on the mesh refinement interface. We take the model problem as the two-dimensional acoustic wave equation in second order form in terms of acoustic pressure, and prove energy stability for the proposed method. Compared to previous approaches using ghost points, the proposed method leads to a smaller system of linear equations that needs to be solved for the ghost point values. Another attractive feature of the proposed method is that the explicit time step does not need to be reduced relative to the corresponding periodic problem. Numerical experiments, both for smoothly varying and discontinuous material properties, demonstrate that the proposed method converges to fourth order accuracy. A detailed comparison of the accuracy and the time-step restriction with the simultaneous-approximation-term penalty method is also presented.

研究の動機と目的

• 非一様なカルテシアングリッドに沿った波動方程式に対して、高次精度かつエネルギー安定な有限差分法を開発すること。
• メッシュ細分化界面の一方側でのみギャストポイントを用いることで、ギャストポイント更新の計算コストを低減すること。
• ギャストポイントを用いるSBP作用素と用いない作用素との間の理論的関係を確立し、より優れた離散化設計を可能にすること。
• 滑らかでない物性値および不連続な物性値の両方に対して、4次収束を達成すること。
• 新規なSBP-GP法と従来のSBP-SAT（ペナルティ）法との間で、効率性および安定性を比較すること。

提案手法

• エネルギー安定性を保証するため、和分ごとに積分（SBP）性質を持つ4次精度のSBP有限差分離散化を用いる。
• 粗い側の細分化界面でのみギャストポイントを用いる新しいSBP-GP定式化を考案し、線形システムにおける未知数の数を削減する。
• 従来の数学的関係が未発見であった、ギャストポイントを用いる作用素と用いない作用素の組み合わせにより、片側ギャストポイント処理が可能になる。
• 界面条件は、4次精度を維持する補間および縮小ステンシルを用いて強く強制する。
• 2次元への拡張を行い、音響圧力に関する2次波動方程式を用いて検証する。
• 安定性を証明するための離散的エネルギー推定式を導出し、時間ステップ制限が周期的問題におけるヴォン・ノイマン限界に非常に近いことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メッシュ細分化界面を伴う波動方程式に対して、片側ギャストポイントのみを用いた4次精度のSBP有限差分法を構築可能か？
• RQ2 ギャストポイントを用いるSBP作用素と用いない作用素との間の関係は何か？ そして、その関係を活用することで、精度および効率を向上させられるか？
• RQ3 滑らかでない物性値および不連続な物性値の両方に対して、新規なSBP-GP法の安定性および収束速度は、SBP-SAT（ペナルティ）法と比較してどうなるか？
• RQ4 ヘンジングノードを伴う非周期的問題において、新規法はヴォン・ノイマン限界に非常に近い大きな時間ステップ制限を維持するか？
• RQ5 提案手法は、より高い精度および3次元問題、現実的な地形を伴う問題へと拡張可能か？

主な発見

• 数値実験により、滑らかでない物性値および不連続な物性値の両方に対して、提案されたSBP-GP法が4次収束を達成することが確認された。
• 2方向ギャストポイント法と比較して、ギャストポイント更新のための線形システムが小さく、より良好な条件数となる。
• 新規なSBP-GP法の時間ステップ制限は、対応する周期的問題におけるヴォン・ノイマン限界に非常に近い。これにより、効率的な時間積分が可能である。
• 一方、SBP-SAT法はペナルティパラメータに依存するより小さな時間ステップを必要とし、修正されない限り3次収束にとどまる。
• 2つの修正手法を用いた改良版SBP-SAT法は4次収束を達成するが、同じグリッドおよび時間ステップでも、SBP-GP法に比べてより大きな解の誤差を示す。
• 新規なSBP-GP法はエネルギー安定であり、部分領域が不連続性と整合している場合でも、不連続な物性界面を伴う場合でも高次精度を維持する。