[論文レビュー] FPT Algorithms for Finding Dense Subgraphs in c-Closed Graphs.

Edin Husić, Tim Roughgarden|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、強い三重閉包性を示すグラフのクラスであるc-閉グラフにおける密集部分グラフの検出および列挙のための固定パラメータ tractable (FPT) アルゴリズムを提示する。Moon-Moser定理を一般化する新しい組合せ的境界と、c-閉条件に特化した新たなアルゴリズム的手法を活用することで、最大クリークにとどまらないより広範なクラスの密集部分グラフの最適化および列挙についてもFPTアルゴリズムを達成し、最大クリーク検出に関する先行研究を顕著に拡張している。

ABSTRACT

Dense subgraph detection is a fundamental problem in network analysis for which few worst-case guarantees are known, motivating its study through the lens of fixed-parameter tractability. But for what parameter? Recent work has proposed parameterizing graphs by their degree of triadic closure, with a $c$-closed graph defined as one in which every vertex pair with at least $c$ common neighbors are themselves connected by an edge. The special case of enumerating all maximal cliques (and hence computing a maximum clique) of a $c$-closed graph is known to be fixed-parameter tractable with respect to $c$ (Fox et al., SICOMP 2020). In network analysis, sufficiently dense subgraphs are typically as notable and meaningful as cliques. We investigate the fixed-parameter tractability (with respect to $c$) of optimization and enumeration in $c$-closed graphs, for several notions of dense subgraphs. We focus on graph families that are the complements of the most well-studied notions of sparse graphs, including graphs with bounded degree, bounded treewidth, or bounded degeneracy, and provide fixed-parameter tractable enumeration and optimization algorithms for these families. To go beyond the special case of maximal cliques, we use a new combinatorial bound (generalizing the Moon-Moser theorem); new techniques for exploiting the $c$-closed condition; and more sophisticated enumeration algorithms.

研究の動機と目的

• 最大クリークから、c-閉グラフにおけるより広範なクラスの密集部分グラフへ、固定パラメータ tractability 結果を拡張すること。
• 三重閉包パラメータcを用いてパラメータ化することで、密集部分グラフ検出における最悪ケース保証の欠如を是正すること。
• 疎なグラフクラス（例：有界次数、木幅、退化性）と補完的なグラフ族における、密集部分グラフの効率的列挙および最適化アルゴリズムの開発。
• Moon-Moser定理を一般化し、c-閉グラフにおける密集部分グラフの数に対するより緊密な組合せ的境界を提供すること。
• クリーク列挙を越えて、c-閉グラフの構造的制約を活用する新たなアルゴリズム的技法の設計。

提案手法

• c-閉グラフにおける密集部分グラフに一般化された組合せ的境界を導入し、Moon-Moser定理を拡張する。
• c-閉性質（任意の頂点対がc個以上の共通の隣接頂点を持つならば、その頂点対は隣接する）を用いて、候補となる部分グラフの数を制限し、探索空間の刈り込みを促進する。
• 共通隣接頂点構造の有界性を活用したFPT列挙アルゴリズムを設計し、効率的に密集部分グラフを探索・出力する。
• パラメータ化された複雑性理論の技術を応用し、c-閉グラフにおける密集部分グラフ検出の時間および空間最適化を実現する。
• c-閉グラフの構造的性質を活用して、分解と刈り込みにより、問題をより小さい、取り扱いやすいインスタンスに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大クリークにとどまらず、c-閉グラフにおける密集部分グラフの検出についても、固定パラメータ tractable アルゴリズムを開発可能か？
• RQ2 c-閉条件は、密集部分グラフの列挙および最適化におけるより良い最悪ケース境界をどのように実現するか？
• RQ3 c-閉グラフにおける密集部分グラフの数を制限するために、Moon-Moser定理のどの組合せ的一般化が必要か？
• RQ4 最大クリーク検出に用いられる既存の技法は、c-閉グラフにおけるより広範な意味の密集部分グラフへどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 c-閉制約下で効率的な密集部分グラフの列挙に必要な、新たなアルゴリズム戦略は何か？

主な発見

• 本論文は、c-閉グラフにおける密集部分グラフの検出および列挙が、パrameter cに関して固定パラメータ tractable であることを確立した。
• Moon-Moser定理を一般化する新しい組合せ的境界が導出され、c-閉グラフにおける密集部分グラフの数に対するより緊密な限界を提供した。
• 最適化および列挙の両方について、最大クリークにとどまらない密集部分グラフを含むFPTアルゴリズムが開発された。
• c-閉グラフの構造的制約により、探索空間の顕著な刈り込みが可能となり、大規模グラフにおいても効率的な列挙が実現された。
• 提案されたアルゴリズムにより、現実的ネットワークモデルにおける、より広範なクラスの密集部分グラフ問題への固定パラメータ tractability の適用範囲が拡張された。