[論文レビュー] FPT Approximation for Constrained Metric $k$-Median/Means

Dishant Goyal, Ragesh Jaiswal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Facility Location and Emergency Management参考文献 97被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、容量制約、r-グループ化、耐障害性、外れ値、不確実性を含む広範な制約付きメトリックkメディアンおよびkミーンズ問題のクラスに対して、最初の固定パrameter tractable (FPT) 近似アルゴリズムを定数倍の近似比で提示する。DingとXu (2015) にインspiredされた統一されたサンプリングベースのフレームワークを用いることで、kメディアンでは (3+ε)-近似、kミーンズでは (9+ε)-近似をFPT時間で達成し、先行研究を改善または同等に保ちつつ、定数回のパスと対数的空間で効率的なストリーミング実装を可能にする。

ABSTRACT

The Metric $k$-median problem over a metric space $(\mathcal{X}, d)$ is defined as follows: given a set $L \subseteq \mathcal{X}$ of facility locations and a set $C \subseteq \mathcal{X}$ of clients, open a set $F \subseteq L$ of $k$ facilities such that the total service cost, defined as $Φ(F, C) \equiv \sum_{x \in C} \min_{f \in F} d(x, f)$, is minimised. The metric $k$-means problem is defined similarly using squared distances. In many applications there are additional constraints that any solution needs to satisfy. This gives rise to different constrained versions of the problem such as $r$-gather, fault-tolerant, outlier $k$-means/$k$-median problem. Surprisingly, for many of these constrained problems, no constant-approximation algorithm is known. We give FPT algorithms with constant approximation guarantee for a range of constrained $k$-median/means problems. For some of the constrained problems, ours is the first constant factor approximation algorithm whereas for others, we improve or match the approximation guarantee of previous works. We work within the unified framework of Ding and Xu that allows us to simultaneously obtain algorithms for a range of constrained problems. In particular, we obtain a $(3+\varepsilon)$-approximation and $(9+\varepsilon)$-approximation for the constrained versions of the $k$-median and $k$-means problem respectively in FPT time. In many practical settings of the $k$-median/means problem, one is allowed to open a facility at any client location, i.e., $C \subseteq L$. For this special case, our algorithm gives a $(2+\varepsilon)$-approximation and $(4+\varepsilon)$-approximation for the constrained versions of $k$-median and $k$-means problem respectively in FPT time. Since our algorithm is based on simple sampling technique, it can also be converted to a constant-pass log-space streaming algorithm.

研究の動機と目的

• 制約付きメトリックkメディアンおよびkミーンズ問題の固定パrameter tractable (FPT) 近似アルゴリズムを設計すること。
• 容量制約、r-グループ化、耐障害性、外れ値、不確実性を含む多様な制約付き問題を、1つのアルゴリズムフレームワークで統一すること。
• 制約付きkメディアン/ミーンズ問題における既存の近似保証を改善または同等に保ちつつ、FPT時間で動作すること。
• 実用的導入を可能にする、定数回パスおよび対数的空間を要するストリーミングアルゴリズムへの拡張を図ること。

提案手法

• DingとXu (2015) のフレームワークを採用し、kメディアンおよびkミーンズの複数の制約付きバージョンを同時に処理する。
• サンプリングに基づく技術を用いて、(1±ε) 要因内でクライアントから施設への割り当てコストを近似する小さな代表的グラフ (G′) を構築する。
• サンプリングされたグラフ G′ における最小コストフロー問題に制約付きクラスタリング問題を還元し、FPT時間で解けるようにする。
• 空間計算量 f(k,ε)·log n で動作する2パスストリーミングアルゴリズムを用いて、グラフ G′ を構築する。ここで f(k,ε) = k^O(k) · log^k(1/ε) である。
• 外れ値kサービス問題などの特定の問題に対しては、外れ点として最も遠い点を貪欲に選択し、その後ボロノイ分割を実行する。
• 遠くの点やフロー割り当てなどの必須情報のみを保持することで、FPTアルゴリズムを定数回パス・対数的空間ストリーミングアルゴリズムに変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広範な制約付きkメディアンおよびkミーンズ問題に対して、定数倍の近似比を達成するFPT近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 統一されたサンプリングベースのフレームワークにより、複数の制約付きバージョンで同時に近似保証を得ることが可能か？
• RQ3 r-グループ化や耐障害性kミーンズ問題のような問題において、既存の最良近似比を改善または同等に保ちつつ、FPT実行時間で動作可能か？
• RQ4 FPT近似アルゴリズムを、定数回パスおよび対数的空間を要する効率的なストリーミングアルゴリズムに変換可能か？

主な発見

• 本稿では、制約付きkメディアン問題に対して (3+ε)-近似、制約付きkミーンズ問題に対して (9+ε)-近似をFPT時間で達成し、先行研究を改善または同等に保っている。
• クライアントが施設としても利用可能である特殊ケース（C ⊆ L）では、kメディアンで (2+ε)-近似、kミーンズで (4+ε)-近似をFPT時間で達成する。
• r-グループ化問題に対しては、FPT近似の境界が従来の結果を上回っており、この設定で初めて定数倍近似アルゴリズムが得られた。
• 本アプローチにより、彩色、l多様性、および半教師ありkメディアン/ミーンズ問題に対する、初めて知られる定数倍近似アルゴリズムが得られた。
• アルゴリズムは、空間計算量 f(k,ε)·log n および実行時間 f(k,ε)·n^O(1) を満たす3パスストリーミングアルゴリズムに変換された。ここで f(k,ε) = k^O(k) · log^k(1/ε) である。
• 外れ値kサービス問題に対しては、O(k) 空間および O(n) 時間で動作する2パスストリーミングアルゴリズムを達成し、m個の最も遠い点を正しく外れ値として特定し、残りを最適にクラスタリングした。