[論文レビュー] Fréchet barycenters in the Monge-Kantorovich spaces

Alexey Kroshnin|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Monge-Kantorovich空間におけるFréchet重心を、Wasserstein重心を任意のRadon空間および連続的・非負のコスト関数へ一般化するものである。確率測度の弱収束のもとで重心の存在および収束性を確立し、経験的重心に対する大数の法則を証明するとともに、分布収束の下で重心が安定することを示している。

ABSTRACT

We consider the space $\mathcal{P}(X)$ of probability measures on arbitrary Radon space $X$ endowed with a transportation cost $J(μ, ν)$ generated by a nonnegative continuous cost function. For a probability distribution on $\mathcal{P}(X)$ we formulate a notion of average with respect to this transportation cost, called here the Fréchet barycenter, prove a version of the law of large numbers for Fréchet barycenters, and discuss the structure of $\mathcal{P}(X)$ related to the transportation cost $J$.

研究の動機と目的

• 確率測度の空間上の確率分布に対して、輸送コスト関数を用いて平均（Fréchet重心）の概念を定義すること。
• 距離でない輸送コスト（三角不等式を満たさないが位相を生成する）へのFréchet平均の概念を一般化すること。
• 分布収束の下での重心の収束性を確立し、特に経験的重心に対する大数の法則を証明すること。
• Monge-Kantorovich輸送コストを備えた確率測度の空間の構造を分析し、重心の存在性および一意性に与える影響を検討すること。
• 凸コスト関数を有するユークリッド空間における結果を、コスト関数にやや弱い正則性条件を課した一般のRadon空間へ拡張すること。

提案手法

• 分布 $ P_{\nu} $ のFréchet重心を、$ J(\bm{\mu}, \nu) $ の期待輸送コスト $ \mathbb{E}[J(\bm{\mu}, \nu)] $ の最小化子として定義する。ここで $ J(\mu, \nu) $ はMonge-Kantorovichコストである。
• Monge-Kantorovich定式化を用いる：$ J(\mu, \nu) = \inf_{\gamma \in \Pi(\mu, \nu)} \int c(x,y) \, d\gamma $ で、$ c(x,y) \geq 0 $ かつ $ c(x,y) = 0 $ となるのは $ x = y $ のときのみ。
• 非コンパクトまたは非距離的設定においても重心の存在および安定性を保証するために正則化項 $ G(\nu) $ を導入する。
• 弱収束およびコスト関数の同調和性を用いて、$ J $-位相におけるコンパクト性と一般化された下界半連続性の議論により、重心の収束を証明する。
• 重心写像の上半連続性を確立し、経験的重心の極限が元の分布の重心であることを証明する。
• 大数の法則を適用する際、経験的測度 $ \bm{P}_n $ が真の分布 $ P_{\mu} $ に対して $ \mathcal{J} $-位相で収束することを示し、重心の収束を確実に導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X がRadon空間で、J が一般の輸送コストであるとき、$ \mathcal{P}(X) $ 上の確率分布に対してFréchet重心が存在する条件は何か？
• RQ2 $ \mathcal{P}(X) $ 上の確率測度が $ J $-位相で収束するとき、それに対応するFréchet重心の収束にはどのような影響を与えるか？
• RQ3 元の測度がi.i.d.に抽出される場合、経験的Fréchet重心に対して大数の法則を確立できるか？
• RQ4 非コンパクトまたは非距離的設定において、正則化 $ G(\nu) $ が重心の存在および安定性を保証する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ5 コスト関数にやや弱い仮定を課した場合、ユークリッド空間からの結果を一般のRadon空間へどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 任意の分布 $ P_{\mu} $ に対して、$ \mathbb{E}[J(\bm{\mu}, \cdot)] $ が恒等的に無限大でない限り、Fréchet重心は存在する。
• 分布列 $ P_n $ が $ \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) $ 上の $ \mathcal{J} $-位相で $ P $ に収束するならば、$ P_n $ の重心は $ J $-位相で $ P $ の重心に収束する。
• 経験的Fréchet重心に対する大数の法則が成立する：i.i.d.抽出のもとで、経験的重心列はほとんど確実に前コンパクトであり、任意の極限点は真の分布の重心である。
• 集合値写像 $ P \mapsto \operatorname{Bar}_G(P) $ は上半連続であり、$ G $ が強く凸である場合には重心写像は連続になる。
• 経験的測度 $ \bm{P}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \delta_{\bm{\mu}_i} $ に対して、$ \bm{P}_n \xrightarrow{\mathcal{J}} P_{\mu} $ がほとんど確実に成立し、重心の収束を示唆する。
• コスト関数が部分三角不等式を満たす場合、すなわちすべての $ x,y,z \in X $ に対して $ c(x,y) \leq A_\epsilon + (1+\epsilon)c(x,z) + C_\epsilon c(y,z) $ が成り立つ場合、結果は同値類へ拡張可能である。