[論文レビュー] $\frac{1}{2}$-derivations of Lie algebras and transposed Poisson algebras

Bruno Leonardo Macedo Ferreira, Ivan Kaygorodov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2020

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ひとこと要約

本稿は、リー代数の1/2-微分と転置ポisson代数構造との間の対応関係を確立し、このような代数が、アソシエイティブ部の右乗法がリー部の1/2-微分である場合に限り生じることを示している。主な貢献は、特定のリー代数における転置ポアソン構造の完全分類である。非自明な構造は、ウィット代数 W(a, -1)、スリムリー代数、およびアーベル的可解部分代数が余次元1の核をもつ可解リー代数に存在するが、半単純な有限次元リー代数、バーラソロ代数、N=1およびN=2超共形代数には非自明な構造は存在しない。

ABSTRACT

A relation between $\frac{1}{2}$-derivations of Lie algebras and transposed Poisson algebras was established. Some non-trivial transposed Poisson algebras with a certain Lie algebra (Witt algebra, algebra $\mathcal{W}(a,-1)$, thin Lie algebra and solvable Lie algebra with abelian nilpotent radical) were constructed. In particular, we constructed an example of the transposed Poisson algebra with associative and Lie parts isomorphic to the Laurent polynomials and the Witt algebra. On the other side, it was proven that there are no non-trivial transposed Poisson algebras with Lie algebra part isomorphic to a semisimple finite-dimensional algebra, a simple finite-dimensional superalgebra, the Virasoro algebra, $N=1$ and $N=2$ superconformal algebras, or a semisimple finite-dimensional $n$-Lie algebra.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、1/2-微分と関連付けることによって、特定のリー代数におけるすべての転置ポアソン代数構造を分類することにある。
• 無限次元および有限次元のさまざまなリー代数における非自明な転置ポアソン代数構造の存在を調査することにある。
• リー代数が非自明な転置ポアソン構造を許容するかどうかを、1/2-微分の空間を分析することによって特定することを目的としている。
• リー部の1/2-微分とアソシエイティブ部の右乗法から、転置ポアソン代数を構成する体系的な方法を提供することにある。
• 半単純な有限次元リー代数およびそれらと関連する代数（バーラソロ代数、超共形代数など）にこのような構造が存在しないことを証明することも目的である。

提案手法

• 主な手法は、転置ポアソン代数のアソシエイティブ部における右乗法と、そのリー部の1/2-微分との間の全単射対応を確立することにある。
• 半単純な有限次元リー代数の1/2-微分の既知の分類を用いて、このような代数に非自明な転置ポアソン構造が存在しないことを証明する。
• ウィット代数や W(a, b) などの無限次元リー代数に対しては、1/2-微分条件から導かれる再帰的公式を用いて、1/2-微分の空間を明示的に計算する。
• 転置ポアソン代数の構成は、1/2-微分である右乗法作用素を用いてアソシエイティブ乗法を定義することによって達成される。
• 1/2-微分条件と乗法の結合性から生じる一次方程式系を解くことによって、手法が展開される。
• スリムリー代数およびアーベル的可解部分代数が余次元1の核をもつ可解リー代数に対しては、1/2-微分の明示的公式を導出し、転置ポアソン恒等式を満たすすべての可能なアソシエイティブ乗法を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のリー代数における転置ポアソン代数構造は、アソシエイティブ部の右乗法によるリー部の1/2-微分から生じるのか？
• RQ2 どのリー代数が非自明な転置ポアソン代数構造を許容するのか？
• RQ3 ウィット代数をリー部とする非自明な転置ポアソン代数は存在するのか？
• RQ4 代数 W(a, -1) は非自明な転置ポアソン構造を許容するか。もしそうならば、それらはどのように分類できるか？
• RQ5 バーラソロ代数、N=1およびN=2超共形代数、およびアーベル的可解部分代数が余次元1の核をもつ可解リー代数における転置ポアソン代数の構造は何か？

主な発見

• ウィット代数は無限個の非自明な転置ポアソン代数構造を許容し、W(a, -1) におけるすべての非自明な構造が完全に分類されている。
• 代数 W(a, b) は、b ≠ -1 のとき非自明な転置ポアソン構造を許容しない。b = -1 のとき、すべての構造が明示的に記述されている。
• スリムリー代数は非自明な転置ポアソン代数構造を許容し、すべての構造は、ある k ≥ 2 に対して e1 ∗ e1 = ek となる1つの構造に同型である。
• アーベル的可解部分代数が余次元1の核をもつ可解リー代数は、右乗法のパラメータに依存して3つの異なる同型類の非自明な転置ポアソン代数構造を許容する。
• 半単純な有限次元リー代数をリー部とする非自明な転置ポアソン代数は存在しない。これは、それらが非自明な1/2-微分をもたないためである。
• バーラソロ代数、N=1およびN=2超共形代数には非自明な転置ポアソン代数構造が存在しない。これは、非自明な1/2-微分の存在と整合しないからである。