[論文レビュー] Fractal Space-Time from Spin-Foams

Elena Magliaro, Claudio Perini+1 more|ArXiv.org|Nov 2, 2009

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、一般境界形式とプローブスカラー場を用いて、バーレット＝クラインのスピン泡沫モデルにおける4次元量子時空のスペクトル次元を計算する。プランクスケールでは、面積スペクトルに応じて約2.08から2.45の間で変化し、低エネルギー領域では4に増加する。これは、量子重力効果によって高エネルギー領域で2次元への次元削減が生じることを示している。

ABSTRACT

In this paper we perform the calculation of the spectral dimension of spacetime in 4d quantum gravity using the Barrett-Crane (BC) spinfoam model. We realize this considering a very simple decomposition of the 4d spacetime already used in the graviton propagator calculation and we introduce a boundary state which selects a classical geometry on the boundary. We obtain that the spectral dimension of the spacetime runs from $\approx 2$ to 4, across a $\approx 1.5$ phase, when the energy of a probe scalar field decreases from high $E \lesssim E_P/25$ to low energy. The spectral dimension at the Planck scale $E \approx E_P$ depends on the areas spectrum used in the calculation. For three different spectra $l_P^2 \sqrt{j(j+1)}$, $l_P^2 (2 j+1)$ and $l_P^2 j$ we find respectively dimension $\approx 2.31$, 2.45 and 2.08.

研究の動機と目的

• 4次元量子重力における量子時空のフラクタル構造をバーレット＝クラインスピン泡沫モデルを用いて調査すること。
• 一般境界形式と、古典的幾何にピークを持つ境界状態を用いて、エネルギースケールの関数としてスペクトル次元を計算すること。
• ループ量子重力における異なる面積スペクトルがプランクスケールのスペクトル次元に与える影響を分析すること。
• 次元削減の結果が量子重力に与える意味および高エネルギー領域における相関関数の振る舞いを探索すること。

提案手法

• スペクトル次元は、量子時空多様体上の拡散過程における熱核トレースを用いて計算される。
• 有効ラプラシアンは、幾何の経路積分によって定義され、古典的ラプラシアンの代わりに量子期待値が用いられる。
• 境界上に古典的3次元幾何にピークを持つ境界状態を導入し、有限な時空振幅の定義が可能になる。
• スペクトル次元は、戻り確率 $ P(T) $ のスケーリング挙動から抽出され、$ \mathcal{D}_s = -2 \, d\ln P(T)/d\ln T $ で定義される。
• 3種類の異なる面積スペクトルが分析された：$ l_P^2 \sqrt{j(j+1)} $、$ l_P^2(2j+1) $、$ l_P^2 j $、それぞれが異なるプランクスケールのスペクトル次元をもたらす。
• コンフォーマル計量のアンザッツ $ g_{\mu\nu} = \Omega^2 g^o_{\mu\nu} $ を用い、コンフォーラル因子は面積演算子によって量子化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーレット＝クラインスピン泡沫モデルにおいて、プローブ場のエネルギースケールに応じて、4次元量子時空のスペクトル次元はどのように変化するか？
• RQ2 プランクスケールにおけるスペクトル次元の値は何か？また、面積スペクトルの選択にどのように依存するか？
• RQ3 他の量子重力の手法と同様に、高エネルギー領域で2次元への次元削減を示すか？
• RQ4 時空のフラクタル的性質は、スカラー場の2点相関関数にどのように影響するか？

主な発見

• 低エネルギー領域ではスペクトル次元が約4から高エネルギー領域では約2に減少し、他の量子重力の手法と整合する次元削減を示している。
• 面積スペクトル $ A_j^a = l_P^2 \sqrt{j(j+1)} $ の場合、プランクスケールにおけるスペクトル次元は $ \approx 2.31 $ である。
• 面積スペクトル $ A_j^b = l_P^2(2j+1) $ の場合、プランクスケールにおけるスペクトル次元は $ \approx 2.45 $ である。
• 面積スペクトル $ A_j^c = l_P^2 j $ の場合、プランクスケールにおけるスペクトル次元は $ \approx 2.08 $ である。
• エネルギー $ E \lesssim E_P/25 $ の範囲ではスペクトル次元は約2のまま安定しており、低エネルギー極限が安定していることを示している。
• プランクスケールにおける2点相関関数は、$ \Gamma(\beta/2)/(4\pi^{1+\beta/2} \sigma^{\beta/2}) $ のようにスケーリングする。ここで $ \beta $ は面積スペクトルに依存する。