[論文レビュー] Fractal Transformations in 2 and 3 Dimensions

Michael F. Barnsley, Brendan Harding|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、従来2次元に適用されてきたフラクタル変換を、マスク付き反復関数系（IFS）のアルゴリズムを適応させることで3次元に拡張し、ボクセルデータおよび表面メッシュへの応用を示している。単位立方体上でのアフィンIFSを用いた連続的かつホメオモーティックな写像を生成する手法を提案し、コンピュータグラフィックス分野におけるリアルな特殊効果およびモデリングを可能にする。

ABSTRACT

We present some work relating to fractal transformations on masked iterated function systems and demonstrate how well known algorithms for generating fractal transformations can be modifed for these systems. We also demonstrate that these algorithms work equally well when applied to three dimensional data sets and suggest some possible applications to special effects and modelling.

研究の動機と目的

• マスク付き反復関数系（IFS）を用いて、3次元データセットへのフラクタル変換の一般化を図ること。
• 混沌のゲームやピクセルチェイニングなどの既存の2次元フラクタル変換アルゴリズムを3次元応用に適応させること。
• 適切なIFS構築および三角形分割を通じて、3次元フラクタル写像における連続性およびホメオモーティズムを保証すること。
• ボクセルおよびメッシュデータを用いた3次元モデリング、特殊効果、データ変換における実用的応用を示すこと。
• 将来のリアルタイムで並列化可能かつインタラクティブな3次元フラクタル変換システムの開発基盤を提供すること。

提案手法

• コンパクトなハウスドルフ空間上の点ファイバー型IFSを用いて、吸引子およびコーディング写像を定義し、一意の不動点吸引子を保証する。
• 3次元吸引子集合の生成に混沌のゲームおよびピクセルチェイニングアルゴリズムを適用し、マスク付きIFSおよび高次元データに向けた修正を施す。
• 単位立方体上でのIFSを定義するため、形式 $ f_i(x,y,z) = (s_1 x t_{i,1} + ((1-s_1)x + s_1)(1-t_{i,1}), \text{ および } y,z \text{ についても同様}) $ のアフィン変換を用いる。
• 変換後に平面性を保つために、メッシュデータを三角形に三角形分割することが必須であり、これにより非平面的歪みを回避する。
• 変換済みボクセルおよびメッシュデータの3次元可視化にDrishtiおよびOpenGLを用い、変換前後の検査を可能にする。
• 異なるパrameterセット $\tilde{s} \in (0,1)^3$ を用いて、1つの吸引子（単位立方体）に埋め込まれたデータを別の吸引子へ写像することで、フラクタルホメオモーフィズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来2次元に限定されていたフラクタル変換は、ボクセルや表面メッシュなどの3次元データセットに対しても効果的に拡張可能か？
• RQ2 既存のIFSアルゴリズム（例：混沌のゲーム、ピクセルチェイニング）にどのような修正を加える必要があり、3次元応用における効率性および正確性を確保できるか？
• RQ3 複雑な3次元構造に適用された場合、3次元フラクタル変換が連続的またはホメオモーティックのままである条件は何か？
• RQ4 3次元メッシュデータは、フラクタル変換中に幾何的整合性を保つために、どのような前処理（例：三角形分割）が必要か？
• RQ5 3次元フラクタル変換は、モデリング、特殊効果、画像合成においてどのような実用的応用を持つのか？

主な発見

• マスク付きIFSおよび単位立方体上でのアフィン写像を用いることで、フラクタル変換を3次元に成功裏に拡張でき、連続的かつホメオモーティックな写像を生成できる。
• 提案手法により、8つのアフィン関数から成る族を用いて、ボクセルデータおよび表面メッシュの変換が可能となり、単位立方体が一意の吸引子として機能する。
• 変換後に平面性を保つために、3次元メッシュの三角形分割が不可欠であり、そうでなければフラクタル写像が多角形平面を歪めてしまう。
• 球体とグーフメッシュの変換例は、内部構造の変化やしわの寄与といったリアルな変形効果を示している。
• 変換された球体の断面図から、同心層が一様でない方法で写像されていることが判明し、内部構造は保持されたまま複雑性が導入されている。
• 3次元フラクタル変換用の既成品ソフトウェアが存在しないことから、カスタム実装の必要性が示唆されるが、高水準な数学ソフトウェアやカスタムコードを効果的に用いることができる。