[論文レビュー] Fractal Weyl laws for asymptotically hyperbolic manifolds

Kiril Datchev, Semyon Dyatlov|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双曲的 trapped set を持つ漸近的に双曲的多様体における共鳴数のフラクタル Weyl 帯を確立し、本質的スペクトルに近い共鳴数の上限を $ (1+|t|)^{\beta} $ に比例して示した。ここで $ \beta $ は trapped set のハウスドルフ次元である。この結果は、従来の研究を双曲的空間の凸的コンパクトな商、特にクェイジフクスィアン群に一般化し、ヴァシーの正則的続行と関数計算の技法を組み合わせた新規な手法により、定数曲率および非定数曲率の設定にも適用可能である。

ABSTRACT

For asymptotically hyperbolic manifolds with hyperbolic trapped sets we prove a fractal upper bound on the number of resonances near the essential spectrum, with power determined by the dimension of the trapped set. This covers the case of general convex cocompact quotients (including the case of connected trapped sets) where our result implies a bound on the number of zeros of the Selberg zeta function in disks of arbitrary size along the imaginary axis. Although no sharp fractal lower bounds are known, the case of quasifuchsian groups, included here, is most likely to provide them.

研究の動機と目的

• 漸近的に双曲的多様体に双曲的 trapped set を持つ場合の、本質的スペクトルに近い共鳴数に対するフラクタル上界を確立すること。
• フラクタル Weyl 帯を、シュットキー群に限らず、一般の双曲的空間の凸的コンパクトな商へ一般化すること。
• 曲率が定数でない場合の漸近的に双曲的多様体に対しても、計量の偶関数性条件の下で結果を拡張すること。
• ヴァシーの有効な正則的続行と、スヨストランド＝ツォルスキーの共鳴数の数え上げ枠組みを、関数計算を用いて統合すること。
• 限界集合のハウスドルフ次元に比例するべきべき乗で、虚軸に沿った円板内でのセルバーグゼータ関数の零点数の鋭い上界を提供すること。

提案手法

• リゾルベントの有効な正則的続行法（ヴァシーの手法）を用い、ラプラシアンのリゾルベントを $ \mathbb{C} $ 上に正則的続行し、共鳴点に極を持つようにする。
• Sjöstrand–Zworski が用いた複素第二ミクロ局所化の代わりに、関数計算の技法を適用し、$ h $ スケールでの数え上げを簡略化する。
• 双曲的シリンダーのモデルケースにおいて、Lyapunov/脱出関数を明示的に構成し、trapped set 及びその入射・出射尾部近傍の力学を制御する。
• 距離関数 $ \varphi_\pm $（それぞれ入射・出射尾部からの距離を測る）の差 $ \varphi_- - \varphi_+ $ を対数的フラットネス化し、trapped set から離れるほど一様に下界を持つグローバル脱出関数 $ \hat{f} $ を定義する。
• geodesic flow が trapped set 上で双曲的であることに基づき、ハミルトニアン $ p_0 $ を定義し、それに伴うベクトル場 $ H_{p_0} $ を用いてその力学を解析する。
• カットオフに基づく構成法により、trapped set の近傍を除いて滑らかでかつ流れ線に沿って厳密に増加する脱出関数 $ f_0 $ を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に双曲的多様体に双曲的 trapped set を持つ場合、本質的スペクトルに近い共鳴数に対する正確なフラクタル上界は何か？
• RQ2 共鳴数の数え上げの上界における指数は、trapped set の幾何的次元とどのように関係するか？
• RQ3 フラクタル Weyl 帯は、シュットキー群に限らず、一般の双曲的空間の凸的コンパクトな商へ拡張可能か？
• RQ4 関数計算のアプローチは、共鳴数の数え上げにおいて第二ミクロ局所化をどの程度置き換えることができるか？
• RQ5 非定数曲率設定下で、セルバーグゼータ関数の零点と共鳴数の関係は何か？

主な発見

• 中心が $ it $ で半径 $ R $ の円板内の共鳴数の総和は、上界 $ \sum_{|s-it|<R} m_\Gamma(s) \leq C(1+|t|)^{\delta_\Gamma} $ を満たす。ここで $ \delta_\Gamma $ は限界集合のハウスドルフ次元である。
• この結果は、すべての凸的コンパクトな商 $ \Gamma\backslash\mathbb{H}^n $ に対して成り立ち、連結でフラクタルな限界集合をもつクェイジフクスィアン群や $ \delta_\Gamma > 1 $ の場合を含む。シュットキーの場合を超えて拡張される。
• 計量が漸近的に双曲的で、$ g_1 $ が $ \tilde{x}^2 $ に関して偶関数である限り、曲率が定数でない場合でもこの上界は有効である。
• 著者らは、ヴァシーの続行法と関数計算アプローチの両方に適合する明示的な脱出関数 $ \hat{f} $ と $ f_0 $ を構成した。
• 第二ミクロ局所化の代わりに適応された関数計算を用いることで、数え上げの議論が簡略化され、透明性と適用可能性が向上した。
• この枠組みは、trapped set 及びその入射・出射尾部が明示的に記述可能な双曲的シリンダーのモデルに適用可能であり、ハミルトニアンの流れの直接計算により脱出関数が構成される。