[論文レビュー] Fractals in Noncommutative Geometry

Daniele Guido, Tommaso Isola|ArXiv.org|Feb 27, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、標準的な対数型Dixmierトレースの代わりに一般化された特異トレースを用いることで、スペクトル三重項を用いて非可換幾何学的枠組みでフラクタル次元と測度を定義する。この枠組みにおいて、|D|⁻¹ の特異トレーサビリティの指数から得られる次元が、自己相似フラクタルに対して古典的なハウスドルフ次元と一致することを確立し、ℝⁿ 内の極限フラクタルに対しては、非可換積分によってハウスドルフ測度を回復する新しいスペクトル三重項を構成する。

ABSTRACT

To any spectral triple (A,D,H) a dimension d is associated, in analogy with the Hausdorff dimension for metric spaces. Indeed d is the unique number, if any, such that |D|^-d has non trivial logarithmic Dixmier trace. Moreover, when d is finite non-zero, there always exists a singular trace which is finite nonzero on |D|^-d, giving rise to a noncommutative integration on A. Such results are applied to fractals in R, using Connes' spectral triple, and to limit fractals in R^n, a class which generalises self-similar fractals, using a new spectral triple. The noncommutative dimension or measure can be computed in some cases. They are shown to coincide with the (classical) Hausdorff dimension and measure in the case of self-similar fractals.

研究の動機と目的

• フラクタルのような特異な空間へ非可換幾何学を拡張し、ハウスドルフ次元と測度の非可換類似物を定義すること。
• 対数型Dixmierトレースにとどまらず、より一般のフラクタルスケーリング行動を捉えるために、特異トレースの使用を一般化すること。
• ℝⁿ 内の極限フラクタルに対して、コンネスの元来の構成とは異なるが一貫性のある非可換測度をもたらす新しいスペクトル三重項を構成すること。
• この枠組みから得られる非可換次元と測度が、自己相似の場合に古典的ハウスドルフ次元と測度と一致することを証明すること。

提案手法

• 本稿では、スペクトル三重項の次元を、|D|⁻ᵈ が非自明な対数型Dixmierトレースを持つような唯一の指数 d として定義する。
• コンパクト作用素に対する特異トレースの指数の概念を導入し、ℓ∞ 上の一般化された極限を用いて B(H) 上の特異トレースを定義する。
• 相似写像に基づく離散的近似と、点のペアに付随する有限次元ヒルベルト空間を用いて、ℝⁿ 内の極限フラクタルのための新しいスペクトル三重項を構成する。
• ディラック作用素 D は、各スケールにおける残存部分のサイズに比例する固有値を持つように定義される。これは、穴ではなく、残存部分に依存する。
• 非可換ハウスドルフ＝ベシコビッチ汎関数を |D|⁻ᵈ 上の特異トレースとして構成し、代数 A 上の線形汎関数を得る。
• 平行移動フラクタルの場合、スケール k における相似写像の数 pₖ とスケーリングパラメータ λₖ を用いて、d = limsupₙ (∑₁ⁿ log pₖ) / (∑₁ⁿ log 1/λₖ) によりスペクトル次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラクタルのハウスドルフ次元は、スペクトル三重項を用いた非可換次元として回復可能か？
• RQ2 対数型Dixmierトレースに限定せず、一般化された特異トレースを用いることで、フラクタル測度のより強固で一般性の高い枠組みが得られるか？
• RQ3 ℝⁿ 内の極限フラクタルに対して、その関連する非可換測度が古典的極限測度と一致するような新しいスペクトル三重項を構成可能か？
• RQ4 平行移動フラクタルの場合に、スペクトル三重項から得られる非可換測度は、フラクタルの内部等長変換に関して不変か？

主な発見

• スペクトル三重項の非可換次元 d は、|D|⁻ᵈ が非自明な対数型Dixmierトレースを持つような唯一の指数であり、自己相似フラクタルでは古典的ハウスドルフ次元と一致する。
• 開集合条件を満たす自己相似フラクタルに対しては、非可換 d 次元ハウスドルフ汎関数が、古典的 d 次元ハウスドルフ測度と正確に一致する。
• 極限フラクタルのための新しいスペクトル三重項は、|D|⁻¹ の特異トレーサビリティの指数 α に対して、任意の α について、スケーリングパラメータ α の極限測度と一致する非可換測度をもたらす。
• 可算的分岐する開集合条件を満たす平行移動フラクタルに対しては、スペクトル次元が d = limsupₙ (∑₁ⁿ log pₖ) / (∑₁ⁿ log 1/λₖ) で与えられ、関連する測度は内部等長変換に関して不変である唯一の確率測度である。
• スペクトル三重項の構成は初期点 x, y の選択に依存せず、非可換測度は C(F)、すなわちフラクタル上の連続関数の空間上で非自明である。