[論文レビュー] Fractional absolute moments of heavy tailed distributions

Muneya Matsui, Zbyněk Pawlas|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、分数階微積分、特にラプラス変換および特性関数に応用されたMarchaud微分を用いて、無限分散を有する重い尾を持つ分布における分数階絶対モーメント（$1 < \gamma < 2$）を解析的に計算する手法を開発する。安定分布、パレート分布、幾何的安定分布、リンニク分布に対して明示的な式を導出し、$0 < p < 2$ の $L^p$ 損失における予測誤差および推定誤差の評価に応用し、無限分散設定下での回帰およびパラメータ推定における閉形式の誤差境界を提供する。

ABSTRACT

Several convenient methods for calculation of fractional absolute moments are given with application to heavy tailed distributions. We use techniques of fractional differentiation to obtain formulae for $E[|X-μ|^γ]$ with $1

研究の動機と目的

• 無限分散を有する重い尾を持つ分布における分数階絶対モーメントのための解析的ツールの不足に対処すること。
• ラプラス変換および特性関数を用いて、$\mathbb{E}[|X - \mu|^\gamma]$（$1 < \gamma < 2$）を計算するための便利で取り扱いやすい方法を開発すること。
• 分数階モーメント理論を用いて、無限分散を有するモデルにおける予測誤差および推定誤差を評価すること、特に回帰およびパラメータ推定において。
• 安定分布、パレート分布、幾何的安定分布、リンニク分布といった主要な重い尾を持つ分布における分数階モーメントの明示的解析的表現を提供すること。

提案手法

• 特性関数または分布のラプラス変換に、$\gamma = 1 + \lambda$（$0 < \lambda < 1$）の階数のMarchaud分数階微分を適用する。
• 分数階絶対モーメントを計算するための公式 $\frac{d^{1+\lambda}}{dt^{1+\lambda}}f(t)\big|_{t=0} = \frac{\lambda}{\Gamma(1-\lambda)} \int_0^\infty \frac{f'(0) - f'(-u)}{u^{1+\lambda}} du$ を導出する。
• 特徴関数を小ジャンプを含む成分と含まない成分に分解することで、無限に可除な分布に理論を適用する。
• Lévy測度 $\nu$ について、$\int_{|x|>1} |x|^{1+\lambda} \nu(dx)$ の可積分性によって、$\mathbb{E}[|X|^{1+\lambda}]$ の存在の必要十分条件を確立する。
• Fubiniの定理および $\int_0^\infty \frac{1 - \cos v}{v^{2+\lambda}} dv$ と $\int_0^\infty \frac{|\sin v|}{v^{2+\lambda}} dv$ の積分恒等式を用いて、モーメントの存在とLévy測度の振る舞いとの関係を確立する。
• 複合ポアソンおよび楕円的尾部を持つ安定モデルに結果を適用し、線形推定子の明示的誤差式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限分散を有する重い尾を持つ分布に対して、$1 < \gamma < 2$ の分数階絶対モーメントをどのように効率的に計算できるか？
• RQ2 特性関数の分数階微分と分数階絶対モーメントの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 無限に可除な分布に対して、$\mathbb{E}[|X|^{1+\lambda}]$ が存在する条件は何か？
• RQ4 安定分布、パレート分布、幾何的安定分布、リンニク分布における分数階絶対モーメントの明示的表現は何か？
• RQ5 $0 < p < 2$ の分数階 $L^p$ 損失を用いて、重い尾を持つモデルにおける予測誤差および推定誤差をどのように定量的評価できるか？

主な発見

• 特性関数 $\mathbb{E}[e^{i\boldsymbol{t}'\boldsymbol{\varepsilon}}] = e^{-|\boldsymbol{t}'\boldsymbol{I}\boldsymbol{t}|^{\alpha/2}}$ を持つ安定誤差ベクトル $\boldsymbol{\varepsilon}$ に対して、推定誤差の $1+\lambda$ 階モーメントは、$1 < 1+\lambda < \alpha$ に対して $\mathbb{E}[|\widehat{\theta}_k - \theta_k|^{1+\lambda}] = \frac{\lambda \Gamma(1 - \frac{1+\lambda}{\alpha})}{\sin(\frac{\lambda\pi}{2}) \Gamma(1 - \lambda)} \overline{\sigma}_k^{1+\lambda}$（$k=0,1$）となる。
• 特性関数 $\mathbb{E}[e^{i\boldsymbol{t}'\boldsymbol{\varepsilon}}] = \{1 + (\boldsymbol{t}'\boldsymbol{I}\boldsymbol{t})^{\alpha/2}\}^{-\beta}$ を持つ多次元リンニクベクトルに対して、誤差モーメントは $\mathbb{E}[|\widehat{\theta}_k - \theta_k|^{1+\lambda}] = \frac{\lambda \beta B(1 - \frac{1+\lambda}{\alpha}, \beta + \frac{1+\lambda}{\alpha})}{\sin(\frac{\lambda\pi}{2}) \Gamma(1 - \lambda)} \overline{\sigma}_k^{1+\lambda}$（$k=0,1$）となり、$1 < 1+\lambda < \alpha$ の範囲で成り立つ。
• 無限に可除な分布に対して $\mathbb{E}[|X|^{1+\lambda}]$ が存在することは、$|x| > 1$ の領域で $|x|^{1+\lambda}$ がLévy測度 $\nu$ の下で可積分であることと同値である。
• 分数階絶対モーメント $\mathbb{E}[|X|^{1+\lambda}]$ は、特性関数のゼロにおける分数階微分として表現可能であり、多くの場合で数値積分を避けて解析的計算が可能になる。
• 複合ポアソンモデルに対して、設計行列および誤差構造を用いて $\mathbb{E}[|\widehat{\theta}_k - \theta_k|^{1+\lambda}]$ の明示的表現を導出し、$\sigma_k^{1+\lambda}$ に依存することを示した。
• 本手法は、$0 < p < 2$ の $L^p$ 予測および推定誤差を計算するための体系的フレームワークを提供し、古典的な $L^2$ に基づく手法を無限分散設定に拡張する。