[論文レビュー] Fractional and fractal derivatives modeling of turbulence

Wen Chen|ArXiv.org|Nov 30, 2005

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、乱流粒子拡散をモデル化するために2/3階微分の分数ラプラシアンを導入し、非線形慣性相互作用と分子拡散の両者から生じる二重フラクタル機構を明らかにした。非線形性と拡散の相互作用に基づく乱流の間歇的挙動を記述する確率的方程式と、分数レーノルズ方程式を提案し、分数微積分がリーヴィ2/3安定分布を通じて乱流のフラクタル時空構造を効果的に捉えられることを示した。

ABSTRACT

This study makes the first attempt to use the 2/3-order fractional Laplacian modeling of enhanced diffusing movements of random turbulent particle resulting from nonlinear inertial interactions. A combined effect of the inertial interactions and the molecule Brownian diffusivities is found to be the bi-fractal mechanism behind multifractal scaling in the inertial range of scales of moderate Reynolds number turbulence. Accordingly, a stochastic equation is proposed to describe turbulence intermittency. The 2/3-order fractional Laplacian representation is also used to construct a fractional Reynolds equation for nonlinear interactions of fluctuating velocity components, underlying turbulence spacetime fractal structures of Levy 2/3 stable distribution. The new perspective of this study is that the fractional calculus is an effective approach modeling of chaotic fractal phenomena induced by nonlinear interactions.

研究の動機と目的

• 分数微積分、特に2/3階微分の分数ラプラシアンを用いて乱流粒子拡散をモデル化すること。
• 中程度のレイノルズ数乱流の慣性範囲における多フラクタルスケーリングの背後にあるメカニズムを特定すること。
• 非線形慣性相互作用とブラウン運動的拡散に基づく、乱流の間歇的挙動を記述する確率的方程式の構築。
• 乱流速度フラクチュエーションの時空フラクタル構造を捉える分数レーノルズ方程式の構築。
• 非線形力学によって駆動される混沌としたフラクタル現象をモデル化するにあたり、分数微積分が有効なフレームワークを提供することを示すこと。

提案手法

• 乱流流れにおける拡散運動の強化を表すために、2/3階微分の分数ラプラシアンを提案する。
• 非線形慣性相互作用と分子ブラウン拡散を組み合わせ、慣性範囲における二重フラクタルメカニズムをモデル化する。
• 非線形効果と拡散効果の相互作用に基づいて、乱流の間歇的挙動を記述する確率的方程式を導出する。
• フラクチュエーティングな速度成分の非線形相互作用をモデル化するため、分数レーノルズ方程式を導入する。
• 時空フラクタル構造を特徴付けるために、リーヴィ2/3安定分布を用いる。
• 非線形相互作用に起因する混沌としたフラクタル現象をモデル化するにあたり、分数微積分を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形慣性相互作用に起因する乱流粒子の拡散の増強を、分数微分がどのようにモデル化できるか。
• RQ2 中程度のレイノルズ数乱流の慣性範囲で観察される多フラクタルスケーリングの背後にあるメカニズムは何か。
• RQ3 分数微分に基づく確率的方程式は、乱流の間歇的挙動を正確に記述できるか。
• RQ4 2/3階微分の分数ラプラシアンは、乱流速度場の時空フラクタル構造とどのように関係しているか。
• RQ5 分数微積分は、非線形力学によって駆動される混沌としたフラクタル現象をどれほど効果的にモデル化できるか。

主な発見

• 2/3階微分の分数ラプラシアンは、乱流粒子運動における拡散の増強を効果的にモデル化できる。
• 非線形慣性相互作用と分子ブラウン拡散の併存効果から、慣性範囲における多フラクタルスケーリングを説明する二重フラクタルメカニズムが生じる。
• 提案された確率的方程式は、分数微分ダイナミクスを用いて乱流の間歇的挙動を成功裏に捉えている。
• 分数レーノルズ方程式は、乱流流れにおけるフラクチュエーティングな速度成分の非線形相互作用を正確に表現している。
• 乱流の時空構造がリーヴィ2/3安定分布に従うことが示され、フラクタル性が本質的であることが示された。
• 非線形相互作用に起因する混沌としたフラクタル現象をモデル化するにあたり、分数微積分が有効なツールであることが裏付けられた。