[論文レビュー] Fractional Calculus and certain integrals of Generalized multiindex Bessel function

Kottakkaran Sooppy Nisar, Sunıl Dutt Purohıt+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化された多重インデックスベッセル関数を導入し、そのリーマン＝リウビル分数階積分および微分の公式を導出する。フォックス＝ライツ関数を統一的枠組みとして用いることで、この関数を含む積分変換を確立し、その積分が一般化超幾何型関数に簡約されることを示す。これにより、分数階微積分および特殊関数分野における既知の結果が拡張される。

ABSTRACT

We aim to introduce the generalized multiindex Bessel function $J_{\left( β_{j} ight) _{m},κ,b}^{\left( α_{j} ight)_{m},γ,c}\left[ z ight] $ and to present some formulas of the Riemann-Liouville fractional integration and differentiation operators. Further, we also derive certain integral formulas involving the newly defined generalized multiindex Bessel function $J_{\left( β_{j} ight) _{m},κ,b}^{\left( α_{j} ight)_{m},γ,c}\left[ z ight] $. We prove that such integrals are expressed in terms of the Fox-Wright function $_{p}Ψ_{q}(z)$. The results presented here are of general in nature and easily reducible to new and known results.

研究の動機と目的

• 複数のパラメータと複素インデックスを備えた新しい一般化された多重インデックスベッセル関数を定義すること。
• この新しい関数に対してリーマン＝リウビル分数階積分および微分作用素の作用を調査すること。
• 一般化された関数を含む閉形式の積分表現を導出し、それをフォックス＝ライツ関数を用いて表現すること。
• 追加のパラメータとインデックスの導入により、分数階微積分および特殊関数分野における既知の結果を一般化すること。
• パラメータの特殊化を通じて、さまざまな特殊ケースを一元的に評価する枠組みを提供すること。

提案手法

• Pochhammer記号および一般化されたガンマ関数を含む級数として、一般化された多重インデックスベッセル関数 $\mathcal{J}_{(\beta_j)_m,\kappa,b}^{(\alpha_j)_m,\gamma,c}[z]$ を定義する。
• 既知の積分公式を用いて、一般化されたベッセル関数にリーマン＝リウビル分数階積分および微分作用素を適用する。
• Mellin-Barnes型積分表現および一般化されたLauricella関数を用いて、得られた積分を評価する。
• 最終的な結果をフォックス＝ライツ関数 ${}_p\Psi_q(z)$ を用いて表現し、その級数定義および収束条件を活用する。
• Pochhammer記号およびガンマ関数の恒等式を用いて、級数展開における積および比を簡約する。
• パラメータの特殊化を通じて結果を検証し、ChoiとAgarwal (2014) が提示したような既知の特殊関数との一貫性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のインデックスと複素パラメータを組み込むことができる一般化された多重インデックスベッセル関数をどのように定義できるか？
• RQ2 リーマン＝リウビル作用素の下で、この一般化されたベッセル関数の分数階積分および微分の公式は何か？
• RQ3 この関数を含む積分は、フォックス＝ライツ関数のような特殊関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ4 導出された積分公式の有効性を保証する収束条件およびパラメータ制約は何か？
• RQ5 適切なパラメータの特殊化により、結果が既知の特殊関数にどのように簡約されるか？

主な発見

• 一般化された多重インデックスベッセル関数 $\mathcal{J}_{(\beta_j)_m,\kappa,b}^{(\alpha_j)_m,\gamma,c}[z]$ は、Pochhammer記号および一般化されたガンマ関数を含む超幾何型級数として定義される。
• 一般化されたベッセル関数のリーマン＝リウビル分数階積分は、パrameterセットが関数のインデックスから明示的に導かれたフォックス＝ライツ関数 ${}_p\Psi_q(z)$ として表現される。
• 特定の積分公式が、$x^{\xi-1}(1-x)^{2(\xi+\sigma)-1}(1-x/3)^{2(\xi+\sigma)-1}(1-x/4)^{\xi+n-1}$ を含む積分に対して導出され、${}_2\Psi_{m+1}$ を用いて表され、分子に $\left(\gamma,k\right), \left(\xi,1\right)$、分母に $\left(\beta_j + \frac{b+1}{2}, \alpha_j\right)_{j=1}^m, \left(2\xi+\sigma,1\right)$ のパラメータが含まれる。
• パラメータの特殊化により、結果が既知の特殊関数に簡約されることが示され、たとえば $c = -1$ および $b = 1$ とすることで、ChoiとAgarwal (2014) の結果が回復される。
• 収束条件 $1 + \sum B_j - \sum A_j \geq 0$ を満たす限り、結果におけるフォックス＝ライツ関数の収束が保証され、収束半径 $\nabla$ が明確に定義される。
• 導出された公式は一般性に富み、多数の既知の結果が特殊ケースとして含まれており、分数階微積分におけるフォックス＝ライツ関数の統一的役割が示されている。