[論文レビュー] Fractional calculus and continuous-time finance

Enrico Scalas, Rudolf Gorenflo+1 more|Fainansu|Jan 10, 2000

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非マルコフ的かつ非局所的な価格変動を考慮する、分数階微積分に基づく連続時間ランダムウォーク（CTRW）モデルを提案する。スケーリング仮定の下で分数拡散方程式を導出し、リターン分布が一般化されたレヴィ安定型をとることを示した。解はミッターグルーファー関数とべき則型の待ち時間に従い、実市場データのモデリングにおける無限分散レヴィ飛行の代替として扱いやすい代替手段を提供する。

ABSTRACT

In this paper we present a rather general phenomenological theory of tick-by-tick dynamics in financial markets. Many well-known aspects, such as the Lévy scaling form, follow as particular cases of the theory. The theory fully takes into account the non-Markovian and non-local character of financial time series. Predictions on the long-time behaviour of the waiting-time probability density are presented. Finally, a general scaling form is given, based on the solution of the fractional diffusion equation.

研究の動機と目的

• 非マルコフ的かつ非局所的特性を捉える、ティック単位の金融ダイナミクスの現象論的モデルの構築を目的とする。
• 主流のファイナンスにおける無限分散レヴィ飛行の限界を克服するため、分数階微積分フレームワークを導入することを目的とする。
• 分数拡散方程式を用いてリターン分布の一般化されたスケーリング形を導出することを目的とする。
• 金融時系列における待ち時間確率密度関数の長時間行動を予測することを目的とする。
• 切断されたレヴィ飛行と分数階微分を用いて、安定レヴィ過程の数学的に取り扱いやすい代替手段を提供することを目的とする。

提案手法

• 価格対数を、ランダムなジャンプサイズとランダムな待ち時間を持つ連続時間ランダムウォーク（CTRW）としてモデル化する。
• フーリエ・ラプラス変換を用いて価格分布の特性関数を導出し、マスタ方程式に至る。
• ジャンプおよび待ち時間の確率密度関数にスケーリング仮定を適用し、分数拡散方程式を導出する。
• カプート分数階微分とミッターグルーファー関数を用いて分数拡散方程式を解く。
• スケーリング解 $ p(x,t) = t^{-\beta/\alpha} W_{\alpha,\beta}(x / t^{\beta/\alpha}) $ を導出する。ここで $ W_{\alpha,\beta} $ は一般化されたレヴィ関数である。
• べき則型の待ち時間行動 $ \psi(\tau) \sim \tau^{-\mu} $ が $ \mu = \beta + 1 \in (1,2) $ としてモデルから導出されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重尾を持つジャンプとべき則型の待ち時間を有するCTRWフレームワークは、高頻度金融データを正確に記述できるか？
• RQ2 金融市場におけるCTRWの水力学的極限として、分数拡散方程式はどのようにして生じるか？
• RQ3 分数階微積分によって支配される非マルコフ的・非局所的ダイナミクス下で、リターン分布のスケーリング形はどのように導かれるか？
• RQ4 ミッターグルーファー関数は、この文脈でレヴィ安定分布をどのように一般化するか？
• RQ5 このモデルは、待ち時間密度の長時間行動に関して、どのような実証的予測を提示するか？

主な発見

• 分数拡散方程式の解は、一般化されたスケーリング形 $ p(x,t) = t^{-\beta/\alpha} W_{\alpha,\beta}(x / t^{\beta/\alpha}) $ を与え、ここで $ W_{\alpha,\beta} $ はミッターグルーファー関数のフーリエ積分によって定義される。
• $ \beta \to 1 $ のとき、解は対称的 $ \alpha $-安定レヴィ分布に還元され、マンドルブロの実証的発見（$ \alpha = 1.7 $）を回復する。
• モデルはべき則型の待ち時間分布 $ \psi(\tau) \sim \tau^{-\mu} $ を予測し、$ \mu = \beta + 1 \in (1,2) $ である。これは長距離依存性の実証的観察と整合的である。
• カプート作用素を用いた分数階微分形式により、コーシー問題の適切な定式化が保証され、物理的初期条件の取り扱いが可能になる。
• スケーリング極限による切断効果の組み込みにより、無限分散レヴィ飛行の数学的に整合性があり、実証的に妥当な代替手段が提供される。
• 高頻度データからの実証的妥当性が期待されるスケーリング形 $ W_{\alpha,\beta}(u) $ は、特に $ \psi(\tau) \sim \tau^{-\mu} $ が成り立つ領域で検証される。