[論文レビュー] Fractional calculus and continuous-time finance II: the waiting-time distribution

Francesco Mainardi, Marco Raberto+2 more|Fainansu|Jun 28, 2000

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、金融市場におけるティック単位の価格動向を記述するため、ミタグ・レフラー待ち時間分布を有する連続時間ランダムウォーク（CTRW）モデルを提案する。分数拡散を用いて、時間分数ケルモゴロフ＝フェラー方程式を導出し、待ち時間の生存確率がミタグ・レフラー関数に従うことを示した。これは1997年のLIFFEのBUNDファuturesデータに特に中程度から長時間の間隔で良好に適合し、モデルの非マルコフ的かつ記憶依存的構造を検証するものである。

ABSTRACT

We complement the theory of tick-by-tick dynamics of financial markets based on a Continuous-Time Random Walk (CTRW) model recently proposed by Scalas et al., and we point out its consistency with the behaviour observed in the waiting-time distribution for BUND future prices traded at LIFFE, London.

研究の動機と目的

• 非マルコフ的かつ記憶依存的な待ち時間を持つCTRWモデルを、金融市場のティック単位の動態に拡張すること。
• キャプト導関数とミタグ・レフラー関数を用いて、非局所的時間的進化を記述する時間分数マスター方程式を導出すること。
• 理論的予測であるミタグ・レフラー生存関数Ψ(τ)を、LIFFE BUNDファuturesの高頻度データと照合して検証すること。
• CTRWフレームワークが金融市場における観測された待ち時間分布と整合的であるかを評価すること。
• 確率的取引到着時刻に基づく微視的市場モデルに与える影響を検討すること。

提案手法

• 分数量学を用いて、非局所的かつ非マルコフ的ダイナミクスを持つCTRWの一般化マスター方程式を定式化する。
• キャプト分数量微分を時間発展のモデルとして適用し、ミタグ・レフラー関数を介して記憶効果を可能にする。
• 待ち時間の生存関数Ψ(τ)がミタグ・レフラー関数であるという仮定の下で、時間分数ケルモゴロフ＝フェラー方程式を導出する。
• フーリエ＝ラプラス変換を用いてマスター方程式を解き、時間依存確率密度関数p(x,t)を導出する。
• 高頻度のLIFFE BUNDファuturesデータ（1997年6月および9月）を用いて、予測されたミタグ・レフラー形式のΨ(τ)を実証的に検証する。
• ストレッチド指数関数、べき則、有理関数、およびライト関数といった代替モデルと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 金融市場における待ち時間の生存確率は、ミタグ・レフラー関数によって正確に記述できるか？
• RQ2 キャプト導関数を用いて導出された時間分数マスター方程式は、高頻度データにおける実証的待ち時間分布を再現できるか？
• RQ3 重たい尾を持つ待ち時間を有するCTRWモデルは、従来のマルコフ的モデルに比べて市場マイクロ構造をどれほど正確に捉えられるか？
• RQ4 非マルコフ的ダイナミクスは、市場注文到着の微視的モデルにどのような意味を持つのか？
• RQ5 ミタグ・レフラー核は、短時間および長時間の待ち時間行動の間を補間するための唯一の最適な選択肢であるか？

主な発見

• BUNDファuturesデータにおける待ち時間の生存確率Ψ(τ)は、指数β ≈ 0.95–0.96のミタグ・レフラー関数によって良好に記述される。
• ミタグ・レフラー適合は、特に6月および9月の1997年デリバティブ契約において、中程度から長時間の待ち時間で実証データと強く一致する。
• ストレッチド指数関数およびべき則の適合より優れており、中間領域および重たい尾領域で顕著に優位性を示す。
• 有理関数およびライト関数は、テストされたデータセットにおいてミタグ・レフラー関数に比べて劣った適合を示す。
• 時間分数ケルモゴロフ＝フェラー方程式は、金融価格変動の非マルコフ的かつ記憶依存的ダイナミクスを的確に捉えている。
• 結果は、長距離相関性と取引のクラスタリングを示す金融時系列のモデリングに分数量学を用いることが有効であることを支持する。