[論文レビュー] Fractional calculus for power functions

Bartłomiej Dyda|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Mathematical functions and polynomials参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^d$ 内の形 $(1 - |x|^2)_+^p$ および $x_d(1 - |x|^2)_+^p$ のべき関数に対する分数階ラプラシアンの明示的公式を導出し、結果を超幾何関数を用いて表現する。主な貢献は、超幾何関数 ${}_2F_1$ を用いた $\Delta^{α/2}u_p^{(d)}(x)$ の閉形式表現であり、これにより変分法を用いた単位球内における分数階ラプラシアンの第一固有値の鋭い推定が可能になる。

ABSTRACT

We calculate the fractional Laplacian for functions of the form $u(x)=(1-|x|^2)_+^p$ and $v(x)=x_d u(x)$. As an application, we estimate the first eigenvalues of the fractional Laplacian in a ball.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^d$ 内の回転対称および反対称なべき関数 $u_p^{(d)}(x) = (1 - |x|^2)_+^p$ および $v_p^{(d)}(x) = x_d(1 - |x|^2)_+^p$ に対する分数階ラプラシアン $\Delta^{\alpha/2}$ の計算。
• これらの関数の分数階ラプラシアンと超幾何関数との間の関係を確立し、固有値問題の解析的取り扱いを可能にする。
• 導出した公式を用いて、単位球 $B \subset \mathbb{R}^d$ 内における分数階ラプラシアンの第一固有値 $\lambda_1$ および $\lambda_*$ の推定を実施する。特に、回転対称および反対称固有関数に焦点を当てる。
• べき関数から構成された試験関数を用いて、$\lambda_1$ および $\lambda_*$ の変分的境界を提供し、既知の推定値を改善する。

提案手法

• 分数階ラプラシアンの特異積分定義およびベータ関数・ガンマ関数の性質を用いて、$\Delta^{\alpha/2}u_p^{(d)}(x)$ の明示的公式を導出する。
• 結果を、超幾何関数 ${}_2F_1\left(\frac{\alpha + d}{2}, -p + \frac{\alpha}{2}; \frac{d}{2}; |x|^2\right)$ を含む関数 $\Phi_{p,\alpha}^{(d)}(|x|^2)$ の形で表現する。
• $|x| < 1$ に対して $u_p^{(d)}(x) = {}_2F_1\left(\frac{d}{2}, -p; \frac{d}{2}; |x|^2\right)$ であるという恒等式を用い、分数階ラプラシアンをコン pact な超幾何関数形式に再定式化する。
• 試験関数 $u = (1 - |x|^2)_+^{\alpha/2} + \eta(1 - |x|^2)_+^{1 + \alpha/2}$ を用いて変分原理 $\lambda_1 \leq \mathcal{E}(u)/\|u\|_{L^2}^2$ を適用し、上界を導出する。
• $d$, $\alpha$, および定数を含む閉形式表現を用いて、レイノルズ商を最小化する最適な $\eta_{\text{min}}$ を導出する。
• $d+2$ 次元における回転対称固有関数と $d$ 次元における $x_d$-反対称固有関数の間の1対1対応を確立し、$\lambda_1^{(d+2)} = \lambda_*^{(d)}$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位球内 ($|x| < 1$) におけるべき関数 $u_p^{(d)}(x) = (1 - |x|^2)_+^p$ に対する分数階ラプラシアン $\Delta^{\alpha/2}$ の明示的形は何か？
• RQ2 反対称関数 $v_p^{(d)}(x) = x_d(1 - |x|^2)_+^p$ に対する分数階ラプラシアンはどのように作用するか？
• RQ3 単位球内における分数階ラプラシアンの固有値問題は、べき関数を試験関数として用いることで推定可能か？
• RQ4 次元 $d+2$ における回転対称固有値と次元 $d$ における反対称固有値との間にどのような関係があるか？
• RQ5 単位球内における分数階ラプラシアンの第一固有値 $\lambda_1$ および第一反対称固有値 $\lambda_*$ の鋭い下界および上界は何か？

主な発見

• $|x| < 1$ における $u_p^{(d)}(x)$ の分数階ラプラシアンは、$\Phi_{p,\alpha}^{(d)}(|x|^2) = \mathcal{A}_{d,-\alpha} B(-\alpha/2, p+1) \pi^{d/2} \Gamma(d/2)^{-1} \cdot {}_2F_1\left(\frac{\alpha + d}{2}, -p + \frac{\alpha}{2}; \frac{d}{2}; |x|^2\right)$ で与えられる。
• 反対称関数 $v_p^{(d)}(x)$ に対しては、$\Delta^{\alpha/2}v_p^{(d)}(x) = x_d \Phi_{p,\alpha}^{(d+2)}(|x|^2)$ が成り立つ。
• 単位球内における第一固有値 $\lambda_1$ は、比較関数 $\psi$ から導かれる $\mu_{d,\alpha}$ を用いて $\lambda_1 \geq \mu_{d,\alpha}$ を満たす。
• 第一反対称固有値 $\lambda_*$ は $\lambda_* = \lambda_1^{(d+2)}$ を満たし、次元シフト対応関係が確立される。
• 線形結合 $u_{j + \alpha/2}^{(d)}$ を用いた数値的上界が、$d$ および $\alpha \in (0,2)$ の全範囲で計算され、最適な $\eta$ は $d$ および $\alpha$ を含む閉形式表現を用いて与えられ、非常にタイトな推定が得られる。
• $\alpha = 1.5$, $d = 3$ の場合、$\lambda_1$ の上界は $4.61848$、$\lambda_*$ の上界は $5.05977$ であり、数値的最小化においてほぼ最適な収束を示す。