[論文レビュー] Fractional Derivatives and Integrals on Time Scales via the Inverse Generalized Laplace Transform

Nuno R. O. Bastos, Dorota Mozyrska+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、逆一般化ラプラス変換を用いて、任意の時刻スケール上での新しい分数階微積分を導入し、ラプラス変換の逆操作を用いて分数階積分と微分を定義する。主な貢献は、デルタ動的方程式を活用し、分数階作用素の半群則および合成則といった基本的性質を証明することで、従来の手法に見られる不整合を解消する一貫性のある枠組みを構築したことである。

ABSTRACT

We introduce a fractional calculus on time scales using the theory of delta (or nabla) dynamic equations. The basic notions of fractional order integral and fractional order derivative on an arbitrary time scale are proposed, using the inverse Laplace transform on time scales. Useful properties of the new fractional operators are proved.

研究の動機と目的

• 任意の時刻スケール上での一貫性のある分数階微積分の枠組みを構築し、従来の手法における不整合を解消すること。
• 時刻スケール上での逆一般化ラプラス変換を用いて、分数階積分と微分を定義すること。
• 新しい分数階作用素の基本的性質、例えば合成則および半群則を確立すること。
• 連続的および離散的分数階微積分を、一つの時刻スケール枠組みで統一すること。
• 動的システム、制御理論、および一般化された定義域における数学的物理への応用のための厳密な数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 逆一般化ラプラス変換を用いて、時刻スケール上での新しい分数階積分および微分の定義を提案する。
• 時刻スケール上の一般化ラプラス変換を用い、分数階積分に対して $ \mathcal{L}^{-1}_{\mathbb{T}}[z^{-\alpha}F(z)] $、分数階微分に対して $ \mathcal{L}^{-1}_{\mathbb{T}}[z^{\alpha}F(z)] $ を用いて作用素を定義する。
• 時刻スケール上での一般化多項式 $ h_k(t,t_0) $ の再帰的定義を用いて、基本解を表現する。
• 一般化ラプラス変換の畳み込み定理を応用し、分数階作用素の合成則を導出する。
• ラプラス変換の恒等式を用いて性質を確立し、特に $ \mathcal{L}[f^{(\alpha)}](z) = z^{\alpha}F(z) - \sum_{k=0}^{n-1} f^{\Delta^k}(0) z^{\alpha-k-1} $ を示す。
• 適切な条件下で $ I^{\alpha}_{\mathbb{T}}(f^{(\alpha)}) = f - \sum_{k=0}^{n-1} f^{\Delta^k}(0) h_k(t) $ が成り立つことを証明することで、一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微分および積分を、従来の再帰的多項式定義に起因する制限を避けて、任意の時刻スケール上で一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 逆一般化ラプラス変換は、時刻スケール上での分数階作用素の構築において果たす役割は何か？
• RQ3 分数階微分および積分が合成則および半群則を満たすための条件は何か？
• RQ4 新しい分数階作用素は、連続的な場合の古典的なリーマン＝リーマンおよびカプートー微分とどのように関係しているか？
• RQ5 新しい枠組みは、連続的および離散的分数階微積分を、一つの時刻スケール理論で統一できるか？

主な発見

• 提案された時刻スケール上での分数階積分および微分作用素は、逆一般化ラプラス変換を用いて適切に定義されており、再帰的多項式定義に基づく従来の手法における不整合を解消している。
• 分数階微分は $ \mathcal{L}[f^{(\alpha)}](z) = z^{\alpha}F(z) - \sum_{k=0}^{n-1} f^{\Delta^k}(0) z^{\alpha-k-1} $ を満たし、時刻スケールへのカプートー微分の一般化を実現している。
• 条件 $ \alpha + \beta \leq 1 $ および $ f(0) = 0 $ の下で、合成則 $ \left(f^{(\alpha)}\right)^{(\beta)} = \left(f^{(\beta)}\right)^{(\alpha)} $ が成り立ち、作用素の順序交換において一貫性が保証される。
• やや緩い正則性条件下で、恒等式 $ I^{\alpha}_{\mathbb{T}}(f^{(\alpha)}) = f - \sum_{k=0}^{n-1} f^{\Delta^k}(0) h_k(t) $ が成り立ち、分数階微積分の基本定理を一般化している。
• 一般化ラプラス変換の畳み込み定理により、$ (f * g)^{(\alpha)} = f^{(\alpha)} * g = f * g^{(\alpha)} $ が得られ、畳み込み操作と整合性を持つことが示された。
• 条件 $ \lim_{z\to\infty} F(z)/z^{\alpha-k} = 0 $ の下で、$ \left(I^{\alpha}_{\mathbb{T}}f\right)^{(\alpha)} = f(t) $ が成り立つことが保証され、分数階積分および微分の逆演算可能性が確認された。