[論文レビュー] Fractional differential and fractional integral modified-Bloch equations for PFG anomalous diffusion and their general solutions

Guoxing Lin|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、NMRおよびMRIにおけるパルス磁場勾配（PFG）異常拡散をモデル化するため、微分型（フラクタル微分に基づく）および積分型（分数階微分に基づく）の2つの新しい修正Bloch方程式を提案する。有限勾配パルス幅および緩和効果を含む一般解を導出し、CTRWシミュレーションおよび先行文献と優れた一致を示した。これにより、複雑な媒体における分数階拡散を統一的かつ物理的に整合的な枠組みで扱えることが示された。

ABSTRACT

The studying of anomalous diffusion by pulsed field gradient (PFG) diffusion technique still faces challenges. Two different research groups have proposed modified Bloch equation for anomalous diffusion. However, these equations have different forms and, therefore, yield inconsistent results. The discrepancy in these reported modified Bloch equations may arise from different ways of combining the fractional diffusion equation with the precession equation where the time derivatives have different derivative orders and forms. Moreover, to the best of my knowledge, the general PFG signal attenuation expression including finite gradient pulse width (FGPW) effect for time-space fractional diffusion based on the fractional derivative has yet to be reported by other methods. Here, based on different combination strategy, two new modified Bloch equations are proposed, which belong to two significantly different types: a differential type based on the fractal derivative and an integral type based on the fractional derivative. The merit of the integral type modified Bloch equation is that the original properties of the contributions from linear or nonlinear processes remain unchanged at the instant of the combination. The general solutions including the FGPW effect were derived from these two equations as well as from two other methods: a method observing the signal intensity at the origin and the recently reported effective phase shift diffusion equation method. The relaxation effect was also considered. It is found that the relaxation behavior influenced by fractional diffusion based on the fractional derivative deviates from that of normal diffusion. The general solution agrees perfectly with continuous-time random walk (CTRW) simulations as well as reported literature results. The new modified Bloch equations is a valuable tool to describe PFG anomalous diffusion in NMR and MRI.

研究の動機と目的

• PFG NMRおよびMRIにおける異常拡散の既存の修正Bloch方程式に生じる矛盾を解消すること。
• 異なる微分型を用いて、分数階拡散とBloch力学を統合した物理的に整合的な枠組みを構築すること。
• 有限勾配パルス幅および緩和効果を含むPFGシグナル減衰の一般解を導出すること。
• 新しい方程式が連続時間ランダムウォーク（CTRW）シミュレーションおよび確立された文献結果と整合することを検証すること。
• 拡散および磁化の進化ダイナミクスを組み合わせる過程で、線形または非線形プロセスの元来の物理的性質を保持すること。

提案手法

• フラクタル微分に基づく微分型修正Bloch方程式を提案し、時間・空間分数階拡散をモデル化する。
• 分数階微分に基づく積分型修正Bloch方程式を構築し、元のプロセスの内在的性質を保持する。
• 新規方程式を用いて、有限勾配パルス幅（FGPW）効果を含むPFGシグナル減衰の一般解を導出する。
• 解の妥当性を確認するため、シグナル強度の原点における値および有効位相シフト拡散方程式の2つの追加手法を適用する。
• 一般解に緩和効果を組み込み、現実的なNMR/MRI条件を再現する。
• 結果をCTRWシミュレーションおよび既存の実験データと照合し、一貫性および正確性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の形式が矛盾を生じさせる中で、PFG NMRにおける異常拡散に整合的な修正Bloch方程式をどのように定式化できるか？
• RQ2 分数階修正Bloch方程式の微分型と積分型の間には、物理的解釈および数学的構造にどのような相違があるか？
• RQ3 有限勾配パルス幅および緩和効果は、分数階拡散プロセスにおけるシグナル減衰にどのように影響を与えるか？
• RQ4 新しい方程式は、連続時間ランダムウォーク（CTRW）シミュレーションおよび既存の文献結果を再現できるか？
• RQ5 分数階微分に基づくモデルは、拡散と磁化の進化ダイナミクスを組み合わせる過程で、線形または非線形プロセスの元来の物理的挙動を保持できるか？

主な発見

• 微分型とは異なり、積分型修正Bloch方程式は、拡散と磁化の進化ダイナミクスを組み合わせる際、線形または非線形プロセスの元来の物理的性質を保持している。
• 積分型方程式から導出された一般解は、さまざまな拡散領域において、連続時間ランダムウォーク（CTRW）シミュレーションと完全に一致する。
• 分数階微分に基づく分数階拡散における緩和挙動は、通常の拡散とは著しく異なり、非指数的緩和ダイナミクスを示している。
• 新しい方程式は、時間・空間分数階拡散のシグナル減衰モデルに、有限勾配パルス幅（FGPW）効果を効果的に組み込むことに成功した。
• 新規方程式、シグナル強度の原点、有効位相シフト拡散方程式のすべての解法が一貫した結果をもたらし、モデルの強靭性と妥当性を裏付けた。
• 提案された枠組みは、NMRおよびMRI応用におけるPFG異常拡散を統一的かつ物理的に整合的に対象とするための包括的で物理的整合性のあるツールを提供する。