[論文レビュー] Fractional differential equations: alpha-entire solutions, regular and irregular singularities

Anatoly N. Kochubei|ArXiv.org|Jun 11, 2008

Meromorphic and Entire Functions参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Riemann-LiouvilleおよびCaputo-Dzhrbashyan微分を用いた、$\alpha \in (0,1)$ 階数の分数階微分方程式を検討し、$\alpha$-整関数解の成長順序に対する鋭い上限を確立するとともに、正則特異点を有する系に対するFrobenius型の手法を開発する。さらに、不規則特異点を有するモデル方程式を分析し、$\alpha$ が有理数でうまく近似されない場合、その形式的解が $t > 0$ で点単位で収束するが、分布的意味では発散することを証明し、古典的常微分方程式理論とは根本的に異なる点を強調する。

ABSTRACT

We consider fractional differential equations of order $α\in (0,1)$ for functions of one independent variable $t\in (0,\infty)$ with the Riemann-Liouville and Caputo-Dzhrbashyan fractional derivatives. A precise estimate for the order of growth of $α$-entire solutions is given. An analog of the Frobenius method for systems with regular singularity is developed. For a model example of an equation with a kind of an irregular singularity, a series for a formal solution is shown to be convergent for $t>0$ (if $α$ is an irrational number poorly approximated by rational ones) but divergent in the distribution sense.

研究の動機と目的

• 階数 $\alpha \in (0,1)$ の分数階微分方程式に対する $\alpha$-整関数解の成長順序に対する正確な推定を確立すること。
• 正則特異点を有する分数階微分方程式系に対するFrobenius法の類似手法を開発すること。
• 不規則特異点を有するモデル方程式の形式的解の収束性および分布的性質を調査すること。
• $\alpha$ が無理数であり、ディオファントス的条件を満たす場合の解の解析的および分布的性質を明確にすること。

提案手法

• 関数 $U(z)$ が方程式 $\mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$ を満たすような $u(t) = U(t^\alpha)$ を満たす場合に、$U(z)$ の成長順序に対する上界を導出し、その順序が $A$ の次数を用いて $(1 + \deg A)/\alpha$ 以下であることを示す。
• 形式的べき級数法を $t^\alpha \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$ の形の系に適用し、$A(z)$ に適切な条件が満たされれば級数が収束することを証明する。
• モデル方程式 $t^{2\alpha} \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = \lambda u(t)$ に対して、ガンマ関数を含む再帰関係を用いて形式的解を構成する：$c_n = \lambda^n \frac{\Gamma(1 - (n+1)\alpha)}{\Gamma(1 - \alpha)} c_0$。
• 恒等式 $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \pi / \sin(\pi z)$ を用いて、形式的解を逆正弦関数およびガンマ関数の形に書き直す。
• Thue-Siegel-Rothの定理を適用し、$\alpha$ が有理数でうまく近似されないものと仮定し、ある $c, \varepsilon > 0$ に対して $|\sin(\pi(n+1)\alpha)| \geq c(n+1)^{-1-\varepsilon}$ が成り立つことを保証する。
• 双対性ペアリング $\varkappa_\alpha(t)$ を用いた分布的収束の分析を行い、係数のノルムが双対空間 $\left(\Phi_{+}^{1-\alpha}\right)'$ 内で指数的超増加を示すため、級数が発散することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式係数を有する分数階微分方程式に対する $\alpha$-整関数解の成長順序として、最大でどの程度の値が達成可能か？
• RQ2 正則特異点を有する分数階微分方程式に対して、Frobenius型の手法をどのように適応できるか？
• RQ3 形式的解 $t^{2\alpha} \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = \lambda u(t)$ が点単位で収束するための $\alpha$ に関する算術的条件は何か？
• RQ4 形式的解が点単位で収束するにもかかわらず、なぜ不規則特異点モデルの解は分布的意味で発散するのか？
• RQ5 古典的常微分方程式と比較して、不規則特異点を有する分数階微分方程式の解の解析的性質にはどのような相違があるか？

主な発見

• 方程式 $\mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$ を満たす解 $u(t) = U(t^\alpha)$ に対応する整関数 $U(z)$ の成長順序は、$(1 + \deg A)/\alpha$ を超えない。$A(z) = \lambda$ の場合（Mittag-Lefflerの場合）に等号が成立する。
• $A(z)$ が円板内で正則である場合、方程式 $t^\alpha \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$ の形式的べき級数解は、標準的な正則性仮定のもとで $t = 0$ 近傍で収束する。
• 有理数でうまく近似されない $\alpha$（例えば代数的無理数）の場合、形式的解 $u(t) = \sum_{n=0}^\infty \Gamma(1 - (n+1)\alpha) t^{-n\alpha}$ はすべての $t > 0$ で収束する。
• 点単位での収束にもかかわらず、双対性ペアリングにおける係数ノルムの指数的超増加により、空間 $\left(\Phi_{+}^{1-\alpha}\right)'$ 内で級数は発散する。
• 発散の原因は、$|\sin(\pi(n+1)\alpha)^{-1}|$ と $\Gamma((n+1)\alpha)^{-1}$ の積であり、これがいかなる指数関数よりも速く増加し、分布的ノルムが有界でなくなることによる。
• 解は、不規則な振るまいを示す関数のハーディークラスに関連しており、整数階微分方程式には存在しない、分数階微分の根本的な特異性を示唆している。