[論文レビュー] Fractional differential inclusions with a new class of set-valued contractions

Hüseyin Işık|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2018

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$θ$-収縮の一般化として、補助関数$θ$に関する条件を緩和し、補助関数を組み込むことによって、新しい集合値収縮のクラスを導入する。完全な距離空間における多値写像に関する新しい不動点定理を確立し、それらを非局所的カプート型分数マター微分包含の積分境界条件における解の存在を証明するために応用する。

ABSTRACT

The aim of this study to investigate the existence of solutions for the following nonlocal integral boundary value problem of Caputo type fractional differential inclusions. To achieve our goals, we take advantage of fixed point theorems for multivalued mappings satisfying a new class of contractive conditions in the setting of complete metric spaces. We derive new fixed point results which extend and improve many results in the literature by means of this new class of contractions. We also supply some examples to support the new theory.

研究の動機と目的

• 関数$θ$に関する条件を緩和し、補助関数を導入することで、既存の$θ$-収縮フレームワークを一般化する新しい多値収縮のクラスを開発すること。
• 完全な距離空間における多値写像に対して、この新しい収縮条件のもとで不動点定理を確立し、既存の文献における結果を拡張すること。
• 非局所的カプート型分数マター微分包含と積分境界条件を伴う問題に対して、新しい不動点理論を応用して解の存在を証明すること。
• 具体的な例と既存の結果との比較を通じて、新しい収縮フレームワークの一般性と適用可能性を示すこと。
• 開発された不動点理論を用いて、非局所的積分境界条件を伴う分数マター微分包含の解の存在を保証する十分条件を提示すること。

提案手法

• 関数$θ$に関する条件を緩和し、補助関数を組み込むことで、多値写像のための新しい収縮のクラスを$θ$-収縮フレームワークを変更することによって導入する。
• 完全な距離空間の空でない閉有界部分集合の空間に一般化されたポンペイウ・ハウスドルフ距離$H$を定義し、集合間の距離を測定する。
• 新しい収縮条件を満たす多値写像に対して不動点定理を確立し、新しい収縮条件のもとで不動点の存在を証明する。
• 分数マター微分包含問題に関連する解作用素$\Lambda_F$に不動点定理を適用し、$\Lambda_F$が$\vartheta_\rho$-収縮であることを示す。
• 関数$\vartheta(t) = e^{\sqrt{t}}$の性質と収縮条件$\vartheta(H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x}))) \leq [\vartheta(\rho(\|x-\tilde{x}\|, \dots))]^k$（$k \in (0,1)$）を用いて、収縮条件を検証する。
• 多値写像$F$および関数$g_k$のノルムを用いてハウスドルフ距離$H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x}))$を評価し、$H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x})) \leq e^{-\tau}\|x - \tilde{x}\|$（$\tau > 0$）が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $θ$-収縮における関数$θ$に関する条件を緩和しても、多値写像の不動点の存在は保たれるか？
• RQ2 新しい収縮クラスは、完全な距離空間における既存の多値写像の不動点定理を一般化できるか？
• RQ3 新しい収縮フレームワークは、非局所的積分境界条件を伴う分数マター微分包含の解の存在を許容するか？
• RQ4 バナッハ、ナドラー、ジレリとサメット、ヴェトロの既存の結果と比較して、新しい収縮条件は一般性と適用性においてどのように差をつけるか？
• RQ5 新しい不動点理論は、複雑な境界条件を伴う非線形分数マター微分包含の存在結果を効果的に証明するために応用可能か？

主な発見

• 本稿では、$θ$に関する条件を緩和し、補助関数を導入することで、既存の$θ$-収縮結果を一般化する新しい多値収縮のクラスを確立した。
• 完全な距離空間における多値写像に対して、新しい収縮条件のもとで不動点定理を証明し、バナッハ、ナドラー、ジレリとサメット、ヴェトロの結果を拡張した。
• 分数マター微分包含の解作用素$\Lambda_F$が$\vartheta_\rho$-収縮であることが示され、$\vartheta(H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x}))) \leq [\vartheta(\rho(\|x-\tilde{x}\|, \dots))]^k$（$k = \sqrt{e^{-\tau}} \in (0,1)$）を満たす。
• 例題において$\beta = 6.7$、$T=1$、$\alpha=0.5$とすると、$\gamma_1 \approx 2.07$、$\gamma_2 \approx 0.5727$、$\|m\| \approx 0.125$となり、$\gamma_1\|m\| + \gamma_2 \approx 0.83145 \leq e^{-\tau}$（$\tau \in (0, \frac{1}{6}]$）が成り立ち、収縮条件を満たす。
• 不動点定理により、解作用素$\Lambda_F$が完全な距離空間内で不動点を持つことから、非局所的分数マター微分包含の解の存在が保証される。
• 理論的枠組みは2つの例（一般例と特定例）によって裏付けられており、収縮条件が数値的に検証されており、新しい結果の適用可能性と強度を示している。