[論文レビュー] Fractional dynamical systems and applications in mechanics and economics

Mihai Boleantu, Dumitru Opriş|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝リウヴィルの分数階微分を用いて、滑らかな多様体上の分数階ジャエット線分バンドル枠組みを導入し、古典的力学および経済モデルの一般化を図る。$ J^{\beta}(\mathbb{R}, M) $ 上での変分法を用いて分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、分数階ラグランジアンが減衰振動子や経済サイクルといった非古典的方程式を記述できることを示している。主な結果として、分数階変分原理と $ 2\alpha $、$ 4\alpha $、$ 6\alpha $ 階の分数階微分方程式との間の同等性が示されている。

ABSTRACT

Using the fractional integration and differentiation on R we build the fractional jet fibre bundle on a differentiable manifold and we emphasize some important geometrical objects. Euler-Lagrange fractional equations are described. Some significant examples from mechanics and economics are presented.

研究の動機と目的

• 非保存的または記憶依存性を持つ系の変分的定式化の欠如を是正するため、古典的変分法を分数階微分に拡張する。
• 滑らかな多様体上での分数階力学系をモデル化する幾何的枠組み「分数階ジャエット線分バンドル $ J^{\alpha}(\mathbb{R}, M) $」を構築する。
• 分数階微分の順序 $ \alpha \in (0,1) $ を用いて、分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を確立し、非整数階動力学系の変分的解析を可能にする。
• 分数階ラグランジアンが減衰振動子や経済サイクルモデルといった既知の運動方程式を回復できることを示す具体的な例を提示する。
• 分数階微分法と幾何力学の橋渡しを図るべく、分数階動的接続および分数階ジャエット空間上の極値値概念を導入する。

提案手法

• 実数直線上での左および右片側リーマン＝リウヴィル分数階微分を定義し、ガンマ関数および特異核を有する積分作用素を用いる。
• 分数階オシレーター・バンドル $ \text{Osc}^{\alpha k}(M) $ を構成し、これを分数階ジャエット線分バンドル $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) = \mathbb{R} \times \text{Osc}^{\alpha k}(M) $ に拡張することで、古典的ジャエットバンドルの一般化を達成する。
• 分数階ジャエット空間 $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ 上に分数階動的接続を導入し、2階分数階微分方程式の定式化を可能にする。
• ラグランジアン $ L: J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) \to \mathbb{R} $ に対して変分原理を適用することで、ラグランジアンの分数階速度に関する分数階微分を含む分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 分数階極値値概念を用いて、分数階ジャエットバンドル内での臨界曲線を定義し、$ \alpha \to 1 $ の極限で古典的極値値と整合性を保つようにする。
• この形式を用いて、減衰振動子や経済サイクルといった系のための分数階ラグランジアンを構築し、それらのオイラー＝ラグランジュ方程式が既知の分数階常微分方程式を再現することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分幾何学における古典的ジャエットバンドル形式は、非局所的動力学をモデル化するためにどのように分数階微分を組み込むことができるか？
• RQ2 分数階ジャエット線分バンドル $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ の構造は何か？ そして、それが分数階微分方程式の定式化をどのように支援するか？
• RQ3 分数階オイラー＝ラグランジュ方程式は、$ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ 上の変分原理からどのように導かれるか？ また、それらは古典的オイラー＝ラグランジュ方程式とどのような関係にあるか？
• RQ4 力学および経済学における非保存的または記憶依存的方程式を再現できるように、分数階ラグランジアンを構築できるか？
• RQ5 ミタグ＝レフラー関数および分数階テイラー級数は、分数階変分問題の解を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 分数階ジャエット線分バンドル $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ は、厳密に $ \mathbb{R} \times \text{Osc}^{\alpha k}(M) $ として定義され、分数階力学系の幾何的基盤を提供する。
• 変分法を $ J^{\alpha k}(\mathbb{R}, M) $ 上に適用することで、分数階オイラー＝ラグランジュ方程式が導出され、$ 2\alpha $、$ 4\alpha $、$ 6\alpha $ 階の非自己同型分数階微分方程式が得られる。
• 特に $ \alpha = \frac{1}{2} $ の場合、ラグランジアン $ L(t,x,y^{(1/2)}) = U_1(t,x) - \frac{1}{2}\Gamma(2)(y^{(1/2)})^2 $ は方程式 $ D_t^{2\alpha}x(t) + V_1(t,x) = 0 $ を生成し、分数階減衰振動子を回復する。
• ラグランジアン $ L(t,x,y^{(1/2)},y^{(1)}) = U_2(t,x) - \frac{1}{2}a_1\Gamma(2)(y^{(1/2)})^2 + \frac{1}{2}\Gamma(3)(y^{(1)})^2 $ は、方程式 $ D_t^{4\alpha}x(t) + a_1 D_t^{2\alpha}x(t) + V_2(t,x) = 0 $ を得て、非同次フィリップスモデルと一致する。
• 同様に、ラグランジアン $ L(t,x,y^{(1/2)},y^{(1)},y^{(3/2)}) $ は、3階分数階方程式 $ D_t^{6\alpha}x(t) + a_2 D_t^{4\alpha}x(t) + a_1 D_t^{2\alpha}x(t) + V_3(t,x) = 0 $ を生成し、イノベーションを含む経済サイクルモデルに適用可能である。
• 分数階変分原理は $ \alpha \to 1 $ の極限で古典的方程式を回復し、標準力学との整合性を確認するとともに、本フレームワークの物理的妥当性を裏付けている。