[論文レビュー] Fractional elliptic problems with critical growth in the whole of $\R^n$

Serena Dipierro, María Medina+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 67

ひとこと要約

この独著は、変分法と非局所拡張技術を用いて、$ℝ^n$ における臨界成長を示す分数階楕円型方程式に対して、少なくとも2つの正の解の存在を確立する。山脈定理を適応し、特化された濃縮・コンパクト性原理を用いることで、無限大領域におけるコンパクト性の欠如を克服し、局所的最小値による1つの解と、臨界閾値未満の山脈幾何学に基づく背理法による2番目の解を証明する。

ABSTRACT

We study the following nonlinear and nonlocal elliptic equation in~$\R^n$ $$ (-Δ)^s u = ε\,h\,u^q + u^p \ {\mbox{ in }}\R^n, $$ where~$s\in(0,1)$, $n>2s$, $ε>0$ is a small parameter, $p=\frac{n+2s}{n-2s}$, $q\in(0,1)$, and~$h\in L^1(\R^n)\cap L^\infty(\R^n)$. The problem has a variational structure, and this allows us to find a positive solution by looking at critical points of a suitable energy functional. In particular, in this paper, we find a local minimum and a mountain pass solution of this functional. One of the crucial ingredient is a Concentration-Compactness principle. Some difficulties arise from the nonlocal structure of the problem and from the fact that we deal with an equation in the whole of~$\R^n$ (and this causes lack of compactness of some embeddings). We overcome these difficulties by looking at an equivalent extended problem.

研究の動機と目的

• 無限大領域 $ℝ^n$ における非局所楕円型方程式と臨界非線形項の解の存在を分析すること。
• 非局所構造を有する分数階ラプラシアンと非有界領域に起因するコンパクト性の欠如に対処すること。
• 変分的技法を用いて、少なくとも2つの異なる正の解の存在を確立すること。
• 臨界指数を有する非局所問題に適した関数解析的枠組みを構築すること。
• 古典的ツール（山脈定理および濃縮・コンパクト性原理）を非局所設定に適応すること。

提案手法

• 方程式 $(-\Delta)^s u = \varepsilon h u^q + u^p$ に付随するエネルギー汎関数を用いて、問題を変分的方程式として定式化する。
• 非局所方程式を1次元高い空間における局所問題に変換するための拡張問題アプローチを用いる。
• 臨界指数 $p = \frac{n+2s}{n-2s}$ を取り扱うために重み付きソボレフ埋め込み定理を適用する。
• 非局所設定に特化した濃縮・コンパクト性原理を確立し、コンパクト性の欠如を管理する。
• 山脈定理を用いて、汎関数の幾何学的性質とパライス＝スメイル条件に依拠して、背理法により2番目の解を求める。
• パライス＝スメイル条件が臨界レベル $\frac{s}{n} S^{n/(2s)}$ 未満で成り立つことを証明し、パライス＝スメイル系列の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界成長を示す分数階楕円型方程式が $\mathbb{R}^n$ で少なくとも2つの正の解を有するか？
• RQ2 非局所作用素と臨界非線形項を扱う際、無限大領域におけるコンパクト性の欠如はどのように克服できるか？
• RQ3 臨界指数を有する非局所方程式に山脈定理を効果的に適用できるか？
• RQ4 拡張問題は非局所方程式の解析を簡素化する上で果たす役割は何か？
• RQ5 臨界閾値 $\frac{s}{n} S^{n/(2s)}$ よりも厳密に低い範囲に山脈パスを構築することは可能か？

主な発見

• 著者らは、臨界成長を示す分数階楕円型方程式に対して局所的最小値解の存在を証明する。
• 山脈幾何学に基づく背理法により、2番目の明確に異なる解が確立され、汎関数が唯一の臨界点しか持たないとは限らないことが示される。
• 汎関数のミニマックスレベル $c_\varepsilon$ は、$\varepsilon > 0$ が十分小さいとき、臨界閾値 $\frac{s}{n} S^{n/(2s)}$ よりも厳密に小さい。
• エネルギー汎関数 $\mathcal{I}_\varepsilon$ に対して、臨界レベル未満でパライス＝スメイル条件が成り立つことが保証され、パライス＝スメイル系列の収束が保証される。
• 山脈パス $t \mapsto t \bar{Z}_{\mu,\xi}$ の存在が確認され、$\mu$ が十分小さいとき $\sup \mathcal{I}_\varepsilon(t \bar{Z}_{\mu,\xi}) < \frac{s}{n} S^{n/(2s)}$ が成り立つ。
• 吹き上がりパラメータ $\mu$ を用いた解のプロファイルの漸近的挙動が解析され、$\mu \to 0$ のとき $T(\mu) = 1 - c_o \mu^\beta + o(\mu^\beta)$ となることが示される。