[論文レビュー] Fractional Gamma process and fractional Gamma-subordinated processes

Luisa Beghin|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、安定劣導波器またはその逆を用いた時間変換により、ガンマ劣導波器およびその劣導波過程の分数マージン版を導入し、新規の分数シフト作用素を含む分数微分方程式を導出する。主な貢献は、ボラティリティ・ガンマ、ジオメトリック安定、および負の二項分布過程の分布に対して、Caputoおよびリーマン・リウヴィルの分数微分を用いて、ν < 1 および ν > 1 の場合に異なる分数フォッカー・プランク型方程式を導出することにある。

ABSTRACT

We define and study fractional versions of the well-known Gamma subordinator $Γ:=\{Γ(t),$ $t\geq 0\},$ which are obtained by time-changing $% Γ$ by means of an independent stable subordinator or its inverse. Their densities are proved to satisfy differential equations expressed in terms of fractional versions of the shift operator (with fractional parameter greater or less than one, in the two cases). As a consequence, the fractional generalization of some Gamma subordinated processes (i.e. the Variance Gamma, the Geometric Stable and the Negative Binomial) are introduced and the corresponding fractional differential equations are obtained.

研究の動機と目的

• 時間変換されたレヴィ過程を用いて、ガンマ劣導波器およびその関連過程の分数一般化を構築すること。
• ν < 1 および ν > 1 のそれぞれに対して、Caputoおよび右付きリーマン・リウヴィルの分数微分に基づく新しい分数シフト作用素を定義すること。
• 分数ガンマ過程の一次元的分布を記述する分数微分方程式を導出すること。
• ボラティリティ・ガンマ、ジオメトリック安定、および負の二項分布過程を含む劣導波過程へのフレームワークの拡張を行い、それらの分数的ダイナミクスを導出すること。
• 得られた分数過程のレヴィ記号を確立し、ν > 1 の場合にそのレヴィ過程構造を確認すること。

提案手法

• ν < 1 に対しては Γν(t) = Γ(ℒν(t)) を、ν > 1 に対しては Ḡν(t) = Γ(𝒜1/ν(t)) を用いて、逆劣導波器および安定劣導波器を用いて2つの分数ガンマ過程を定義する。
• ν < 1 に対しては Caputo 分数微分を用いて分数シフト作用素 𝒪c,xν を、ν > 1 に対しては右付きリーマン・リウヴィル微分を用いて作用素 𝒪̄c,xν を導入する。
• 分数シフト作用素を遷移密度に適用することにより、Γν および Ḡν の密度関数に対する分数微分方程式を導出する。
• ブラウン運動または複合ポアソン過程と分数ガンマ過程を合成することにより、劣導波過程に同じ枠組みを適用する。
• 劣導波原理を用いて、得られた分数過程の特性関数およびレヴィ記号を導出する。
• 分数シフト作用素を通じて、分数微分方程式と過程の無限小生成子との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なガンマ劣導波器は、時間変換されたレヴィ過程を用いてどのように分数版に一般化できるか？
• RQ2 ν < 1 および ν > 1 の場合に、分数ガンマ過程の遷移密度を記述する分数微分方程式は何か？
• RQ3 Caputoおよびリーマン・リウヴィル微分に基づく分数シフト作用素は、分数ガンマ過程のダイナミクスとどのように関係するか？
• RQ4 分数時間変換下で、ボラティリティ・ガンマ、ジオメトリック安定、および負の二項分布過程の分布が満たす分数フォッカー・プランク型方程式は何か？
• RQ5 分数劣導波過程がレヴィ過程の性質を保つ条件は何か？そのレヴィ記号は何か？

主な発見

• 分数ガンマ過程 Γν(t) の密度関数は、ν < 1 に対して、分数微分方程式 𝒪−1,tνfΓν(z,t) = −1/p fΓν(z,t) + 1/p fΓν(z−1,t) を満たす。
• 分数ガンマ過程 Ḡν(t) の密度関数は、ν > 1 に対して、分数微分方程式 𝒪̄−1,tνfḠν(z,t) = −1/p fḠν(z,t) + 1/p fḠν(z−1,t) を満たす。
• 分数ボラティリティ・ガンマ過程 Xν(t) = B(Γν(t)) は、ν < 1 に対して、分数微分方程式 𝒪−1,tνqkν(t) = 1/2 qkν(t) − 1/2 qk−1ν(t) を満たす。
• 分数負の二項分布過程 Mν(t) = M(Ḡν(t)) は、ν > 1 に対して、分数微分方程式 𝒪̄−1,tνq̄kν(t) = 1/p q̄kν(t) − (1−p)/p q̄k−1ν(t) を満たす。
• ν > 1 の場合、分数ボラティリティ・ガンマ、ジオメトリック安定、および負の二項分布過程は、それぞれレヴィ記号 η(t) = −[log(1 + u²/2)]^{1/ν}、η(t) = −[log(1 + (−iu)^α)]^{1/ν}、η(t) = −[log((1−(1−p)e^{iu})/p)]^{1/ν} を持つレヴィ過程である。
• 分数シフト作用素 𝒪c,xν および 𝒪̄c,xν は、古典的シフト作用素 e^{cDx} を分数階に一般化し、遷移密度の分数フォッカー・プランク方程式の導出を可能にする。