[論文レビュー] Fractional Generalized KYP Lemma for Fractional Order System within Finite Frequency Range

Xiaogang Zhu, Jun‐Guo Lu|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Advanced Control Systems Design被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限周波数帯域における分析を目的として、分数階微分方程式系（FOS）に一般化されたKYP（GKYP）lemmを拡張した分数階一般化KYP（FGKYP）lemmを提案する。S-procedureおよび行列不等式技術を活用することで、線形行列不等式（LMIs）を用いたL∞およびH∞ノルム条件を確立し、指定された周波数帯域内におけるFOSの凸最適化に基づく解析および制御設計を可能にする。0 < ν ≤ 1および1 < ν < 2の両方の範囲に対して、異なる定式化が提示される。

ABSTRACT

The celebrated GKYP is widely used in integer-order control system. However, when it comes to the fractional order system, there exists no such tool to solve problems. This paper prove the FGKYP which can be used in the analysis of problems in fractional order system. The $H_\infty$ and $L_\infty$ of fractional order system are analysed based on the FGKYP.

研究の動機と目的

• 既存の一般化KYP（GKYP）手法が整数階系に限定されていることから、分数階微分方程式系（FOS）のための有限周波数解析ツールを開発すること。
• FOSにおける周波数領域の性能要件と時領域の制御設計の間のギャップを埋めるために、有限周波数帯域における解析を可能にすること。
• FOSのL∞およびH∞ノルムに関する十分かつ必要条件を、LMIsによる凸最適化を用いて確立すること。
• 分数階数が(0,1]および(1,2)の範囲にある場合に適した、異なる定式化を提供すること。
• 数値例を用いて理論的結果を検証し、提案されたLMIsの正しさと限界を示すこと。

提案手法

• S-procedureを用いて、有限周波数範囲における周波数領域の不等式を行列不等式に変換する。
• 正定値行列Uと周波数依存の重み付けを含むリャプノフ型不等式を構築することで、FOSのL∞ノルムに対するFGKYPlemmを導出する。
• 正弦関数sin(πν/2)とスラック行列Uを含む行列不等式条件を、0 < ν ≤ 1のFOSのH∞ノルムに導出する。
• 1 < ν < 2のH∞条件を、実軸に関して対称な複素周波数領域Ωを定義し、最大モジュラス原理を適用することで適応する。
• 実数のLMIsへの再定式化技術を用いて、MATLABのLMIツールボックスなどの標準的な凸最適化ツールによる数値解法を可能にする。
• 導出されたLMIsを数値的に解き、伝達関数の特異値プロットと比較することで、理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化KYPlemmは、有限周波数帯域における分析を目的とした分数階微分方程式系へ拡張可能か？
• RQ2 指定された有限周波数帯域内における分数階微分方程式系のL∞ノルムに関する必要十分条件は何か？
• RQ3 有限周波数領域において、分数階数0 < ν ≤ 1と1 < ν < 2のH∞ノルム条件はどのように異なるか？
• RQ4 提案されたFGKYPlemmは、標準的なLMIソルバーを用いた凸最適化によって実装可能か？
• RQ5 理論的LMIsは、数値例による検証を通じて実際のシステム性能とどのように一致するか？

主な発見

• FGKYPlemmは、FOSの有限周波数帯域におけるL∞ノルム解析に関して、必要かつ十分であることが証明され、数値的に解けるLMI条件（43）が得られた。
• 0 < ν ≤ 1の場合、H∞ノルム条件はjUB sin(πν/2)を含むLMI（66）として与えられ、LMIが実行可能であればH∞ < δが保証される。
• 1 < ν < 2の場合、複素周波数領域Ωと最大モジュラス原理を用いてH∞条件が導出され、類似した構造だが異なるパrameterizationを持つLMI（72）が得られた。
• 数値例1では、[0, 100]の範囲でL∞ノルムが0.77未満であることが確認され、LMI（43）によりL∞ < 0.9を満たすUおよびVが得られ、定理の妥当性が検証された。
• δ = 0.6 < 0.77の場合、LMI（43）は解けないことが確認され、δが実際のL∞ノルムを上回っている必要があることが裏付けられた。
• 例2では、LMI（66）によりH∞ < 9.2が確認されたが、H∞ < 1.6はLMIを満たさず、システムの真のH∞ノルムを正しく反映していた。