[論文レビュー] Fractional gradient and its application to the fractional advection equation

Mirko D’Ovidio, Roberto Garra|arXiv (Cornell University)|May 19, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単位球面上における分数階方向微分の重み付き積分に基づく新しい分数階勾配作用素を導入し、一般化された分数階ベクトル解析を可能にする。この枠組みをd次元の分数階移流拡散方程式に適用し、決定論的および確率的解を導出し、無限小生成子に関する新しいLévy-Khinchine公式を通じて多変数Lévy過程と関連付ける。

ABSTRACT

In this paper we provide a definition of fractional gradient operators, related to directional derivatives. We develop a fractional vector calculus, providing a probabilistic interpretation and mathematical tools to treat multidimensional fractional differential equations. A first application is discussed in relation to the d-dimensional fractional advection-dispersion equation. We also study the connection with multidimensional Lévy processes.

研究の動機と目的

• 分数階方向微分に基づく包括的な分数階ベクトル解析フレームワークの構築を目的とする。
• 単位球面上の混合測度を用いて一般化された分数階勾配作用素を定義すること。
• 分数階勾配作用素をd次元分数階移流拡散方程式に適用し、決定論的および確率的解を導出すること。
• 多変数Lévy過程の無限小生成子に関する新しいLévy-Khinchine公式を確立すること。
• 2階方向微分の分数階累乗を特異積分表現およびRiesz型作用素に関連付けること。

提案手法

• 分数階勾配作用素を単位球面上の分数階方向微分の重み付き積分として定義する：$\nabla^\beta_M f(\mathbf{x}) = \int_{||\boldsymbol{\theta}||=1} \boldsymbol{\theta} D^\beta_{\boldsymbol{\theta}} f(\mathbf{x}) M(d\boldsymbol{\theta})$。
• フーリエ変換を用いて分数階勾配作用素の作用を表現する：$\widehat{\nabla^\beta_M f}(\mathbf{k}) = \int_{||\boldsymbol{\theta}||=1} \boldsymbol{\theta} (-i\mathbf{k}\cdot\boldsymbol{\theta})^\beta \widehat{f}(\mathbf{k}) M(d\boldsymbol{\theta})$。
• 分数階発散作用素 $\mathbb{D}^\alpha_M f(\mathbf{x}) = \int_{||\boldsymbol{\theta}||=1} D^\alpha_{\boldsymbol{\theta}} f(\mathbf{x}) M(d\boldsymbol{\theta})$ を導入し、一般化された分数階ラプラシアンとして機能させる。
• 分数階勾配作用素を用いて、多変数Lévy過程の無限小生成子に関する新しいLévy-Khinchine公式を構築する。
• 2階方向微分の分数階累乗の特異積分表現を導出する：$-((-\boldsymbol{\theta}\cdot\nabla)^2)^\alpha f(\mathbf{x}) = C(\alpha) \int_{\mathbb{R}^d} \frac{f(\mathbf{y}) - f(\mathbf{x})}{|\boldsymbol{\theta}\cdot(\mathbf{y}-\mathbf{x})|^{2\alpha+1}} d\mathbf{y}$。
• 部分的従属を用いて分数階移流方程式の確率的解を構築する：$u(\mathbf{x},t) = \int_0^\infty h_\alpha(s,t) P_s f(\mathbf{x}) ds = e^{-t(-(-\boldsymbol{\theta}\cdot\nabla)^2)^\alpha} f(\mathbf{x})$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元における分数階方向微分を用いた一貫性のある分数階ベクトル解析をどのように定式化できるか？
• RQ2 提案された分数階勾配作用素の多変数Lévy過程における確率的解釈は何か？
• RQ3 分数階勾配作用素は、d次元分数階移流拡散方程式をどのように一般化された形で記述可能か？
• RQ4 2階方向微分の分数階累乗と特異積分作用素との関係は何か？
• RQ5 部分的従属および遷移半群を用いて、分数階移流型方程式の確率的解を導出可能か？

主な発見

• 分数階勾配作用素は、単位球面上における分数階方向微分の重み付き積分として定義され、混合測度 $M(d\boldsymbol{\theta})$ を通じて広範な分数階微分作用素のクラスを実現可能とする。
• 分数階勾配作用素のフーリエ変換は $\widehat{\nabla^\beta_M f}(\mathbf{k}) = \int_{||\boldsymbol{\theta}||=1} \boldsymbol{\theta} (-i\mathbf{k}\cdot\boldsymbol{\theta})^\beta \widehat{f}(\mathbf{k}) M(d\boldsymbol{\theta})$ で与えられ、スペクトル解析が可能となる。
• 分数階発散作用素 $\mathbb{D}^\alpha_M f(\mathbf{x})$ は分数階ラプラシアンを一般化し、分数階拡散の生成子として機能する。
• 多変数Lévy過程の無限小生成子に関する新しいLévy-Khinchine公式が導出され、分数階勾配作用素が重み付きの重尾を持つポアソン過程と関連付けられる。
• 2階方向微分の分数階累乗 $(-(-\boldsymbol{\theta}\cdot\nabla)^2)^\alpha$ は、核 $C(\alpha)/|\boldsymbol{\theta}\cdot(\mathbf{y}-\mathbf{x})|^{2\alpha+1}$ を持つ特異積分表現を有する。ここで $C(\alpha) = \frac{1}{\pi} \Gamma(2\alpha+1) \sin(\pi\alpha)$ である。
• 分数階移流方程式の確率的解は部分的従属を用いて構築され、$u(\mathbf{x},t) = e^{-t(-(-\boldsymbol{\theta}\cdot\nabla)^2)^\alpha} f(\mathbf{x})$ と表される。この解は、遷移半群およびFrobenius-Perron作用素から得られる解と一致する。