[論文レビュー] Fractional Helly theorem for the diameter of convex sets

Silouanos Brazitikos|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℝⁿ 内の凸集合の直径に関する新しい定量的ヘリーよりの定理を確立し、内部が空でない凸体の任意の有限族に対して、全族の交わりのスケーリング版に含まれる O(n) 個の集合の部分族が存在することを示している。具体的には、O(n^{3/2}) 倍の元の集合内に含まれる。対称的な場合、この境界は O(√n) に改善され、次元に多項式的依存を達成し、ヘリーよりの設定における直径制御に関する予想を解決する。

ABSTRACT

We provide a new quantitative version of Helly's theorem: there exists an absolute constant $α>1$ with the following property: if $\{P_i: i\in I\}$ is a finite family of convex bodies in ${\mathbb R}^n$ with ${ m int}\left (\bigcap_{i\in I}P_i ight ) eq\emptyset $, then there exist $z\in {\mathbb R}^n$, $s\leq αn$ and $i_1,\ldots i_s\in I$ such that \begin{equation*} z+P_{i_1}\cap\cdots\cap P_{i_s}\subseteq cn^{3/2}\left(z+\bigcap_{i\in I}P_i ight), \end{equation*} where $c>0$ is an absolute constant. This directly gives a version of the "quantitative" diameter theorem of Bárány, Katchalski and Pach, with a polynomial dependence on the dimension. In the symmetric case the bound $O(n^{3/2})$ can be improved to $O(\sqrt{n})$.

研究の動機と目的

• 凸集合の直径に関するヘリーよりの定理の定量的版を確立すること。すなわち、'大きな直径'がヘリーよりの性質かどうかを検討すること。
• 次元に多項式的依存を達成することで、これまでの指数的境界を改善すること。
• バーラーニ、カチャルスキー、パッチが提起した予想を解決すること。すなわち、部分交わりの直径が O((cn)^{n/2}) ではなく O(√n) で抑えられるかどうか。
• 体積から直径へと定量的ヘリーよりの定理の枠組みを拡張し、幾何学的およびスペクトル的手法を用いること。
• 最小限の交わりの仮定のもとで、凸集合の交わりの直径に対する明示的で次元依存の境界を提供すること。

提案手法

• バービノク（2005）の補題を用い、凸幾何とスペクトルグラフ理論を結びつける「交差族法」に基づく。
• バツォン、スピルマン、スリバスタ（2012）のグラフスパースナイザーに関する定理を応用し、ℝⁿ 内の有限点集合の幾何を制御する。
• 凸体とその双対体のローレンバーの位置の概念を用い、正定値行列のスペクトル制御に問題を還元する。
• ジョン＝ローレンバーの楕円体とサポート関数の解析を用いて、有限点集合の凸包の被覆推定を得る。
• [3] からの還元スキームを適用し、部分族に含まれる集合の数を最小限に抑えつつ直径境界を保持する。
• 双対体が最小体積楕円体と接する点が、幾何的に制御された交わりを持つ部分族を導くという事実に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 n に多項式的依存する境界で、凸集合の部分交わりの直径を抑えられるか。
• RQ2 『交わりが大きな直径を持つ』という性質は、凸集合に対してヘリーよりの性質であり得るか。もしそうなら、直径を制御するために必要な集合の最小数は何か。
• RQ3 バーラーニ、カチャルスキー、パッチの O((cn)^{n/2}) の境界は、対称的な場合に O(√n) に改善可能か。
• RQ4 全交わりの直径が 1 であるとき、部分交わりの直径に対する次元に最も良い依存関係は何か。
• RQ5 O(n) 個の集合を含む部分族にまで数を減らしつつ、多項式的直径境界を維持できるか。

主な発見

• ℝⁿ 内の内部が空でない交わりを持つ任意の凸体の有限族に対して、全交わりの直径の O(n^{3/2}) 倍の集合に含まれる、大きさが αn 未満（絶対定数 α > 1）の部分族が存在する。
• 対称的な場合、境界は O(√n) に改善され、定数はパラメータ d > 1 に明示的に依存し、γ_d = (√d + 1)/(√d − 1) で与えられ、これがタイトであることが示される。
• 本結果は、部分交わりの直径に対して次元に多項式的依存を与えるものであり、先行研究の指数的境界を改善する。
• 証明技法はスペクトル法と凸幾何に依拠しており、特に最小体積楕円体と双対体の接点の利用が重要である。
• 本手法により、明示的定数を伴う直径に関する定量的ヘリーよりの定理が得られ、境界は絶対定数の範囲でタイトである。
• 本結果は、直径制御問題が次元に多項式的依存を示すヘリーよりの性質を満たすことを示唆し、定性的に予想を確認する。