[論文レビュー] Fractional Helmholtz and fractional wave equations with Riesz-Feller and generalized Riemann-Liouville fractional derivatives

Ram K. Saxena, Tomovski, Zivorad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 49被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Riesz-Fellerおよび一般化リーマン＝リウビル分数階微分を用いて、2変数における分数階ヘルムホルツ方程式および波動方程式の解析的解を導出する。フーリエ＝ラプラス変換法を適用することで、解はミタグ＝レフラー関数、フォックスH関数、および積分作用素を用いて表現され、古典的方程式を一般化し、既存の結果を特別な場合として回復する統一的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

The objective of this paper is to derive analytical solutions of fractional order Laplace, Poisson and Helmholtz equations in two variables derived from the corresponding standard equations in two dimensions by replacing the integer order partial derivatives with fractional Riesz-Feller derivative and generalized Riemann-Liouville fractional derivative recently defined by Hilfer. The Fourier-Laplace transform method is employed to obtain the solutions in terms of Mittag-Leffler functions, Fox $H$-function and an integral operator containing a Mittag-Leffler function in the kernel. Results for fractional wave equation are presented as well. Some interesting special cases of these equations are considered. Asymptotic behavior and series representation of solutions are analyzed in detail. Many previously obtained results can be derived as special cases of those presented in this paper.

研究の動機と目的

• 整数階微分を分数階Riesz-Fellerおよび一般化リーマン＝リウビル微分に置き換えることで、2次元における古典的ラプラス、ポisson、およびヘルムホルツ方程式を一般化すること。
• 空間と時間に混合された分数階微分を含む分数階偏微分方程式を解くための統一的解析的フレームワークを構築すること。
• 非対称性および複合分数階微分を組み込むことで、既存の分数階拡散および波動方程式の結果を拡張すること。
• これらの一般化された分数階方程式の解の漸近的挙動および級数表現を分析すること。
• 従来に得られた分数階PDEの結果が、提案された一般化形式の特別な場合として回復されることを示すこと。

提案手法

• 空間と時間に混合された微分作用素を有する分数階微分方程式を解くために、フーリエ＝ラプラス変換法を用いる。
• 第一の空間変数に対して、非対称性θに依存する複素位相因子を有するフーリエ変換によって定義されるRiesz-Feller微分を用いる。
• 第二の変数に対して、パラメータ化された分数階数を介して記憶効果を組み込むHilfer-複合型一般化リーマン＝リウビル分数階微分を適用する。
• ミタグ＝レフラー関数およびフォックスH関数を用いて解を導出し、これらは分数階微積分における古典的特殊関数を一般化する。
• メリン＝バーンズ積分表現および積分変換を用いて解を表現し、その漸近的挙動を分析する。
• メリン余弦変換を用いてフォックスH関数解の積分表現および漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2変数における混合Riesz-Fellerおよび一般化リーマン＝リウビル微分を用いた分数階ヘルムホルツおよび波動方程式は、どのように定式化できるか？
• RQ2 異なる境界条件および源項条件のもとで、これらの方程式に対して得られる解析的解は何か？
• RQ3 解の漸近的挙動はどのように振る舞い、特殊関数を用いた級数表現はどのような形か？
• RQ4 導出された解が、どのようにして古典的ラプラス、ポアソン、およびヘルムホルツ方程式を一般化するか？
• RQ5 従来に発表された分数階拡散および波動方程式に関する結果が、この一般化フレームワークの特別な場合として回復可能か？

主な発見

• 分数階ラプラスおよびポアソン方程式の解は、ミタグ＝レフラー関数およびフォックスH関数を用いて表現され、分数階数および非対称性パラメータに明示的な依存性を示す。
• 分数階ヘルムホルツ方程式の解は、フォックスH関数およびミタグ＝レフラー核を有する積分作用素を含み、さまざまな境界条件および源項条件に対して有効である。
• フォックスH関数のzが大きいときの挙動を用いて、解の漸近展開が導出され、指数的減衰がべき乗項によって変調されていることが示された。
• メリン＝バーンズ積分を用いた級数表現が導出され、収束条件および関数的構造が明らかにされた。
• Riesz-Feller空間微分およびHilfer-複合時間微分を有する時間に依存する分数階波動方程式が分析され、異常拡散および波動伝播の既知のモデルが拡張された。
• 分数階PDE分野における多数の既存の結果が、提示された一般解の特別な場合として示され、一貫性および広範な適用可能性が確認された。