[論文レビュー] Fractional homomorphism, Weisfeiler-Leman invariance, and the Sherali-Adams hierarchy for the Constraint Satisfaction Problem

Silvia Butti, Víctor Dalmau|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2021

Constraint Satisfaction and Optimization被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、制約充足問題（CSP）の文脈において、分数的ホモモーフィズム、Weisfeiler-Leman（WL）アルゴリズム、およびSherali-Adams（SA）階層の間の深い関係を確立する。最初のレベルのSA階層が分数的同型を特徴づけることを証明し、CSPがk次元WLに不変であることは、かつそれが多様体閉じた分数的ホモモーフィズム族によって定義可能であることと同値であることを示している。

ABSTRACT

Given a pair of graphs $\ extbf{A}$ and $\ extbf{B}$, the problems of deciding whether there exists either a homomorphism or an isomorphism from $\ extbf{A}$ to $\ extbf{B}$ have received a lot of attention. While graph homomorphism is known to be NP-complete, the complexity of the graph isomorphism problem is not fully understood. A well-known combinatorial heuristic for graph isomorphism is the Weisfeiler-Leman test together with its higher order variants. On the other hand, both problems can be reformulated as integer programs and various LP methods can be applied to obtain high-quality relaxations that can still be solved efficiently. We study so-called fractional relaxations of these programs in the more general context where $\ extbf{A}$ and $\ extbf{B}$ are not graphs but arbitrary relational structures. We give a combinatorial characterization of the Sherali-Adams hierarchy applied to the homomorphism problem in terms of fractional isomorphism. Collaterally, we also extend a number of known results from graph theory to give a characterization of the notion of fractional isomorphism for relational structures in terms of the Weisfeiler-Leman test, equitable partitions, and counting homomorphisms from trees. As a result, we obtain a description of the families of CSPs that are closed under Weisfeiler-Leman invariance in terms of their polymorphisms as well as decidability by the first level of the Sherali-Adams hierarchy.

研究の動機と目的

• 最初のレベルのSherali-Adams階層の表現力を分数的ホモモーフィズムの観点から特徴づけること。
• 1次元WL不変性と分数的同型の既知の同値性を一般の関係的構造へと拡張すること。
• 分数的同型と木ホモモーフィズムを用いて、CSPのk次元WL不変性を組合せ的に特徴づけること。
• CSPがk-WLに不変であることを多様体とSA階層の観点から完全に特徴づけること。
• 既知の分数的同型、均等分割、木からのホモモーフィズムの数え上げに関する結果を統合・一般化すること。

提案手法

• 標準的ホモモーフィズムの緩和として、分数的割り当てを用いた関係的構造間の分数的ホモモーフィズムを定義する。
• k-WL不変CSPの概念を導入し、木から構造への分数的ホモモーフィズムの存在と関連付ける。
• 与えられた構造Q（木幅 < k）から、任意の構造Dに対してHom(T, D*) = Hom(Q, D)を満たす木のような構造Tを構成する。
• CSPの整数計画法の定式化をSA階層で緩和し、レベル1が正確に分数的同型関係を捉えていることを示す。
• CSPがk-WLに不変であることは、k-アリティの木からの分数的ホモモーフィズムによって誘導される多様体に関して閉じていることと同値であることを証明する。
• 均等分割と木からのホモモーフィズムの数え上げを活用し、k-WL不変性の観点から分数的同型を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sherali-Adams階層の最初のレベルは、CSPの文脈において分数的同型とどのように関係しているか？
• RQ2 CSPのWeisfeiler-Leman不変性は、分数的同型と木ホモモーフィズムを用いて組合せ的に特徴づけられるか？
• RQ3 k次元Weisfeiler-Leman不変性とCSPの多様体の間には、正確にどのような関係があるか？
• RQ4 分数的同型は、一般の関係的構造へとグラフの古典的1-WL同値性をどの程度一般化するか？
• RQ5 SA階層を用いて、k-WLの表現力が論理的定義可能性と多様体閉じ性の観点から特徴づけられるか？

主な発見

• Sherali-Adams階層の最初のレベルは、関係的構造間の分数的同型関係を正確に特徴づける。
• CSPがk次元WLに不変であることは、k-アリティの木からの分数的ホモモーフィズムによって誘導される多様体に関して閉じていることと同値である。
• 2つの関係的構造AとBの間の分数的同型は、1-WLアルゴリズムがそれらを区別できないことに等しい。
• 木Tから構造D*（Dのk-アリティ閉包）へのホモモーフィズムの存在は、TからDへの分数的ホモモーフィズムの存在と同値である。
• 構造Qの木幅がk未満であることと、すべての構造Dに対してHom(T, D*) = Hom(Q, D)を満たすk-アリティのftree Tが存在することは同値である。
• 本論文は、1-WL、均等分割、木からのホモモーフィズムの数え上げを用いた分数的同型の古典的特徴づけを、任意の関係的構造へと一般化している。