[論文レビュー] Fractional Integral Inequalities via s-Convex Functions

M. Emіn Özdemіr, Havva Kavurmacı+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝リウヴィル型分数階積分を用いて、s-凸関数を含む新しい分数階積分不等式を確立する。ホルダーの不等式およびs-凸性の性質を適用することで、関数値の平均と分数階積分平均との乖離に対する鋭い上限が得られ、古典的なハダマール型不等式が、s、α、qに依存する明示的な定数を伴う分数階微積分の設定に一般化される。

ABSTRACT

In this paper, we establish several inequalities for s-convex mappings that are connected with the Riemann-Liouville fractional integrals. Our results have some relationships with certain integral inequalities in the literature.

研究の動機と目的

• 古典的なハダマール型不等式をs-凸関数を用いて分数階積分の設定に拡張すること。
• 関数値の平均と分数階積分平均との差の新たな境界を導出すること。
• s-凸性がリーマン＝リウヴィル型分数階積分に対する不等式の鋭さに与える影響を調査すること。
• 分数階数αおよび可積分性指数qを組み込むことで、既存の文献の結果を一般化すること。

提案手法

• α > 0 である区間 [a,b] 上の関数に対して、リーマン＝リウヴィル型分数階積分の定義を用いる。
• f(a)+f(r)/2 と重み付き分数階積分の組み合わせとの差を推定するために、ホルダーの不等式を適用する。
• s-凸性（第一および第二の意味）の定義を用いて、導関数項 |f′|q を評価する。
• ベータ関数 β(1/2; s+1, α+1) および関連する積分を用いて、境界式の主要な表現を評価する。
• 2つの主要な不等式を導出する：s-凸性をもつ |f′|q に対するものと、s-凹性をもつ |f′|q に対するもので、それぞれ異なる定数構造を持つ。
• α=1 または s=1 のとき既知の不等式と整合することを示すことにより、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 s-凸関数を用いて、ハダマール型不等式を分数階積分にどのように一般化できるか。
• RQ2 f(a) と f(b) の算術平均とリーマン＝リウヴィル型分数階積分平均との差の最適な境界は何か。
• RQ3 |f′|q のs-凸性が分数階積分不等式の鋭さにどのように影響するか。
• RQ4 |f′|q がs-凸性からs-凹性に置き換わった場合、境界にはどのような変化が生じるか。
• RQ5 α=1 または s=1 のとき、既存の文献の不等式が特殊ケースとして回復できるか。

主な発見

• s-凸性をもつ |f′|q に対して、不等式の境界はベータ関数 β(1/2; s+1, α+1) と項 (2^{α+s} - 1)/(α+s+1)2^{α+s} を含み、s および α に依存する鋭い定数を示す。
• r=b のとき、主不等式は Set ら (2012) の定理4に簡約され、先行研究と整合することが確認される。
• s-凹性をもつ |f′|q および q>1 の場合、境界は |f′((a+r)/2)| に比例し、2^{(s-2)/q} および (αp+1)^{-1/p} を含む係数を持つ。s が大きいほど、より良い減衰が得られる。
• s-凹性の場合の境界は、特に s が1に近いとき、s-凸性の場合よりもきつくなる。これは 2^{(s-2)/q} 項によるものである。
• α=1 かつ r=b のとき、結果はキルマチらの定理2を回復し、分数階数への一般化を確認する。
• 古典的なハダマール不等式における定数 1/(s+1) は、α および s に依存するより複雑な表現に置き換えられ、積分の分数階性を反映している。