[論文レビュー] Fractional Leibniz integral rules for Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives and their applications

Ismail T. Huseynov, Arzu Ahmadova+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、一般の順序 $ n-1 < \alpha \leq n $ のリーマン・リオウヴィルおよびキャプトー微分に対する分数階のライプニッツ積分則を確立し、非同次多項式分数階微分方程式の候補解の代入による検証を可能にする。主な貢献は、分数階グリーン関数と二変数マイトガーレフラー関数を用いて、一般化されたバグリー・トルヴィックおよび発振子方程式の明示的解析解を導出したことである。これらの解は、新規に確立された積分則によって検証されている。

ABSTRACT

In recent years, the theory for Leibniz integral rule in the fractional sense has not been able to get substantial development. As an urgent problem to be solved, we study a Leibniz integral rule for Riemann-Liouville and Caputo type differentiation operators with general fractional-order of $n-1

研究の動機と目的

• 一般の分数量 $ \alpha \in (0,1) $ を超える分数量の範囲において、分数量ライプニッツ積分則の体系的かつ一貫した展開が不足しているという問題に対処すること。
• リーマン・リオウヴィルおよびキャプトー微分の順序 $ n-1 < \alpha \leq n $ に適用可能な一般化された分数量ライプニッツ則の開発。
• 積分記号下での微分を用いた、非同次多項式分数量微分方程式の候補解に対する厳密な検証フレームワークの提供。
• 分数量グリーン関数法を用いて、一般化されたバグリー・トルヴィックおよび発振子方程式の明示的解析解の導出。
• 二変数マイトガーレフラー関数で表された解と、フォックス＝ライト関数や多パラメータマイトガーレフラー関数などの既知の特殊関数との関係の確立。

提案手法

• 任意の順序 $ \alpha \in (n-1, n] $ のリーマン・リオウヴィルおよびキャプトー微分に対する一般化された分数量ライプニッツ積分則の導出。これは古典的結果を拡張するものである。
• 分数量ライプニッツ則を用いて、多項式分数量微分方程式の候補解を代入することで検証する。
• 分数量グリーン関数を用いて、一般化されたバグリー・トルヴィックおよび発振子方程式の明示的解を構築する。
• 積分表現における基本的解核として、二変数マイトガーレフラー関数 $ E_{2,1,2} $、$ E_{2,1,1} $ などの使用。
• ラプラス積分変換技術を用いて、マイトガーレフラー型関数の観点から解を導出し、検証する。
• 二項係数のパスカルの法則を用いて、検証プロセスにおける高階微分表現の簡略化と検証を実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分記号下での微分の古典的ライプニッツ則は、任意の順序 $ \alpha \in (n-1, n] $ の分数量微分にどのように一般化できるか？
• RQ2 リーマン・リオウヴィルおよびキャプトー微分に対して、$ \alpha \in (0,1) $ の場合を除く、明示的な分数量ライプニッツ積分則の形態は何か？
• RQ3 提案された分数量ライプニッツ則を用いて、非同次多項式分数量微分方程式の解析解を検証できるか？
• RQ4 一般化されたバグリー・トルヴィックおよび発振子方程式の明示的解析解は、二変数マイトガーレフラー関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 導出された解は、フォックス＝ライト関数や多パラメータマイトガーレフラー関数などの既知の特殊関数とどのように関係しているか？

主な発見

• 本稿では、$ \alpha \in (n-1, n] $ のリーマン・リオウヴィルおよびキャプトー微分に対する一般化された分数量ライプニッツ積分則が導出され、$ \alpha \in (0,1) $ に限られていた先行研究を拡張した。
• 分数量グリーン関数と二変数マイトガーレフラー関数 $ E_{2,1,2} $ を用いて、一般化されたバグリー・トルヴィック方程式の明示的解析解が得られた。
• 発振子方程式の解は、新規に確立された分数量ライプニッツ則を用いて検証され、微分方程式の構造と整合していることが確認された。
• 導出された解は、フォックス＝ライト型関数および二パラメータマイトガーレフラー関数の $ l $ 階微分と一致することが示され、既知の特殊関数との関係が確立された。
• 代入による検証により、候補解 $ y(t) = \int_0^t (t-s)E_{2,1,2}(\lambda(t-s)^2, \mu(t-s))g(s)ds $ が2階分数量微分方程式を満たすことが確認された。
• 新しい分数量ライプニッツ則を用いた積分記号下での直接微分により、境界項や微分恒等式を含めた解の検証が成功裏に実施された。