[論文レビュー] Fractional Order Optimal Control Model For Malaria Infection

Eric Okyere, Francis T. Oduro+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Caputo微分を用いて記憶効果を動的モデルに組み込むために、マラリア伝搬の分数階最適制御モデルを提案する。一般化されたEulerスキームを用いた前向き・後向きスイープ法を適用することで、時間に依存する制御（ベッドネット、治療、殺虫スプレー）を伴う分数階モデルが、整数階モデルと比較して、感染した人間およびイエバエの個体数を顕著に低減することが示された。

ABSTRACT

We propose and study an optimal control model for malaria infection described by system of fractional differential equations. The model is formulated in terms of the left and right Caputo fractional derivatives. We determine the necessary conditions for the optimality of the controlled dynamical system.The forward-backward sweep method with generalized euler scheme is applied to numerically compute the solutions of the optimality system.

研究の動機と目的

• 記憶効果をCaputo微分によって捉える分数階最適制御モデルを、マラリア伝搬に適用する。
• 変分法および分数階積分による部分積分公式を用いて、制御系の必要十分条件を導出する。
• 前向き・後向きスイープ法と一般化されたEulerスキームを組み合わせて、最適性系を数値的に解く。
• 整数階モデルと比較して、治療用ベッドネット、治療、殺虫スプレーのさまざまな制御戦略の有効性を比較する。
• 時間に依存する制御を伴う分数階モデルが、整数階モデルと比較して優れた病気低減効果を示すことを実証する。

提案手法

• 人間およびイエバエの個体群における記憶依存的ダイナミクスを表現するために、左および右のCaputo分数階微分を用いたマラリア伝搬モデルを構築する。
• 変分法および分数階積分による部分積分公式を用いて、分数階最適制御問題の必要十分条件を導出する。
• 得られた状態方程式および共役方程式を含む二点境界値問題を解くために、前向き・後向きスイープ法を適用する。
• 最適性系に含まれる分数階微分方程式の近似解を得るために、一般化されたEuler法を数値スキームとして採用する。
• 治療用ベッドネット（u₁）、治療（u₂）、殺虫スプレー（u₃）の複数の制御戦略を、それぞれ時間に依存する関数として実装する。
• 既存の文献から得た初期条件およびパラメータ値の包括的セットを用いて、異なる制御シナリオおよび分数階（α = 1, 0.99, 0.95, 0.90）における結果をシミュレーションし、比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微分は、整数階モデルと比較して、マラリア伝搬ダイナミクスのモデリングをどのように改善するか？
• RQ2 Caputo微分を用いたマラリア伝搬モデルにおける分数階最適制御問題の必要十分条件は何か？
• RQ3 時間に依存する制御（ベッドネット、治療、殺虫スプレー）を個別または併用した場合、感染した人間およびイエバエの個体数をどれほど効果的に低減できるか？
• RQ4 整数階モデル（α=1）と分数階モデル（α<1）の病気制御結果に及ぼす影響を比較するとどうなるか？
• RQ5 異なる制御戦略および分数階（α）の下で、最適制御関数（u₁, u₂, u₃）は時間経過とともにどのように変化するか？

主な発見

• 時間に依存する制御を伴う分数階モデル（α < 1）は、整数階モデル（α = 1）と比較して、感染した人間およびイエバエの個体数を顕著に低減する。
• 治療用ベッドネット、治療、殺虫スプレーの3つの制御を併用することで、感染した人間およびイエバエの個体数が最も顕著に低減される。
• 1つの制御のみを適用する場合、感染した人間の低減効果は治療用ベッドネット（u₁）が最も効果的であり、その後に治療（u₂）、殺虫スプレー（u₃）の順に効果が低い。
• 最適制御関数（u₁, u₂, u₃）は時間変動を示し、初期値が高く、徐々に減少する傾向を示しており、初期段階での強力な介入が最適であることを示唆している。
• 数値シミュレーションにより、一般化されたEuler法が分数階最適性系の解を高精度で近似できることを確認した。
• 分数階微分に内在する記憶効果により、特に長期的な制御戦略において、現実の病気ダイナミクスをより的確に反映できるようになる。