[論文レビュー] Fractional Perimeter and Nonlocal Minimal Surfaces

Luca Lombardini|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本学位論文は、分数階s-外周および非局所的最小表面の基礎理論を確立し、分数階平均曲率方程式の滑らかさ解を用いてs-最小集合の存在および正則性を証明する。s-最小集合がs-分数階平均曲率を含む滑らかさ形式のオイラー＝ラグランジュ方程式を満たし、平坦性条件のもとでホルダー正則性（C^{1,α}）を示す。これは、一様密度推定および摂動技法を用いて、古典的De Giorgi型正則性を非局所設定に拡張するものである。

ABSTRACT

This Master's thesis presents a study of the basic properties of the s-fractional perimeter and of the regularity theory of the corresponding s-minimal sets. In particular, we give full detailed proofs for all the Theorems contained in the article "Nonlocal Minimal Surfaces" by Caffarelli, Roquejoffre and Savin, where these s-minimal sets were introduced and studied for the first time.

研究の動機と目的

• 分数階s-外周を、古典的外周の非局所的一般化として発展させる。
• 変分法の直接法を用いてs-最小集合の存在を確立する。
• s-最小集合がs-分数階平均曲率を含む滑らかさ形式のオイラー＝ラグランジュ方程式を満たすことを証明する。
• 特に平坦性仮定の下で、s-最小集合の境界の正則性を調査する。
• 一様密度推定および平坦性の改善技術を用いて、古典的De Giorgi型正則性結果を非局所設定に拡張する。

提案手法

• Gagliardo半ノルムを用いて分数階s-外周を定義する：$ P_s(E, \Omega) = \frac{1}{2} \left( [\chi_E]_{W^{s,1}(\mathbb{R}^n)} - [\chi_E]_{W^{s,1}(C\Omega)} \right) $。
• 分数階ソボレフのコンパクト性およびFatouの補題を用いて、変分法の直接法により、固定された外部データに対するs-最小集合の存在を証明する。
• s-最小集合に対する一様密度推定を確立し、最小化子の局所的均一収束およびクリーンな球条件を保証する。
• 滑らかさ解におけるオイラー＝ラグランジュ方程式を証明する：点に内部接する球がある場合、$ \limsup_{\delta \to 0} I^s_\delta[E](x) \leq 0 $ が成り立つ。
• De Giorgiのインスピレーションを受けて、平坦性の改善技術を適用し、$ \partial E \cap B_1 \subset \{ |x_n| \leq \epsilon_0 \} $ ならば、$ \partial E \cap B_{1/2} $ が $ C^{1,\alpha} $ であることを示す（$ \alpha < s $）。
• 符号付き距離関数およびチューブ型近傍理論を用いて、$ \bar{d}_E $ の正則性と境界の滑らかさを関連づけ、定数ランク定理およびDiniの陰関数定理を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階s-外周は、非局所的設定において、どのように古典的外周を一般化するか？
• RQ2 与えられた外部データに対して、s-最小集合が存在する条件は何か？
• RQ3 s-最小集合のための正しいオイラー＝ラグランジュ方程式の形式は何か？ そして、その方程式はどのような意味で成り立つのか？
• RQ4 平坦性仮定の下で、s-最小集合の境界が正則であることを示せるか？
• RQ5 平坦性の改善などの古典的正則性技法が、非局所的s-外周フレームワークにどの程度拡張可能か？

主な発見

• 分数階s-外周は、$ \partial E $ のハウスドルフ次元が $ n-1 $ を超えても、well-definedかつ有限である。これは、外周の非局所的一般化を示している。
• 任意の開集合 $ \Omega $ および固定された外部データ $ E_0 \setminus \Omega $ に対して、$ \Omega $ 内で $ P_s(F, \Omega) $ を最小化するs-最小集合 $ E $ が存在する。このとき、$ F \setminus \Omega = E_0 \setminus \Omega $ を満たすすべての $ F $ に対して最小化が成り立つ。
• s-最小集合は、内部接する球を持つ点において、滑らかさ解の意味でオイラー＝ラグランジュ方程式 $ \limsup_{\delta \to 0} I^s_\delta[E](x) \leq 0 $ を満たす。
• s-最小集合の境界は、集合が十分に平坦な点の近傍で $ C^{1,\alpha} $ である。具体的には、$ \partial E \cap B_1 \subset \{ |x_n| \leq \epsilon_0 \} $ が成り立つような十分小さい $ \epsilon_0 = \epsilon_0(n,s,\alpha) $ に対して成立する。
• 分数階平均曲率 $ I_s[E](x) $ は、$ C^2 $-正則な集合に対して分数階外周の第一変分として得られ、古典的変分法と整合的であることを確認する。
• 境界 $ \partial E $ の近傍における符号付き距離関数 $ \bar{d}_E $ の正則性は、$ \partial E $ の $ C^k $ 滑らかさと同値であり、$ \bar{d}_E \in C^k $ ならば $ \partial E $ は $ C^k $ 超曲面である。