[論文レビュー] Fractional Poisson Bracket

Alireza Khalili Golmankhaneh|ArXiv.org|Jul 26, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Caputo微分を用いた分数マトロニクス力学における分数ポアソン括弧形式を導入し、古典的ポアソン括弧を分数階の系へ一般化する。分数ハミルトニアン＝ヤコビ方程式および量子波動方程式を導出し、2つの具体例（一様電場内での分数調和振動子、記憶力を持つ散乱的分数振動子）を通じて、分数オイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトン方程式との整合性を示している。

ABSTRACT

In the present paper fractional Hamilton-Jacobi equation has been derived for dynamical systems involving Caputo derivative. Fractional Poisson-bracket is introduced. Further Hamilton's canonical equations are formulated and quantum wave equation corresponds to the fractional Hamilton-Jacobi equation is suggested. Illustrative examples have been worked out to explain the formalism.

研究の動機と目的

• Caputo微分を用いた分数階の系への古典的ハミルトニアン力学の一般化。
• 分数力学における一貫性のあるポアソン括弧形式の欠如を解決すること。
• Caputo微分を含むラグランジアンから分数ハミルトニアン＝ヤコビ方程式を導出すること。
• 分数ハミルトニアン＝ヤコビ形式と整合する分数量子波動方程式の提案。
• 非保存的力が働く物理的例を通じて、形式の整合性を実証すること。

提案手法

• 左および右のCaputo微分を含むラグランジアンから分数ハミルトニアン＝ヤコビ方程式を導出する。
• 左および右のCaputo微分を用いて定義される一般化された分数ポアソン括弧を導入する。
• 分数ポアソン括弧を用いて分数ハミルトンの正準方程式を確立する。
• 分数ハミルトニアン＝ヤコビ方程式からの位相関数をシュレーディンガー型形式に代入することで、分数量子波動方程式を提案する。
• 分数振動子が一様電場にさらされる系および記憶力を持つ散乱的振動子の2つの物理系に形式を適用する。
• 分数ポアソン括弧がオイラー＝ラグランジュおよびハミルトン的アプローチと同一の運動方程式を再現することを示すことにより、整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Caputo微分を用いた分数階動的系に、ポアソン括弧形式をどのように一般化できるか。
• RQ2 Caputo微分を含むラグランジアンから導かれる分数ハミルトニアン＝ヤコビ方程式の形は何か。
• RQ3 分数ポアソン括弧は、分数的状況下でハミルトンの正準方程式をどのように再現するか。
• RQ4 分数ハミルトニアン＝ヤコビ方程式から一貫性のある分数量子波動方程式を導出できるか。
• RQ5 導出された運動方程式は、分数オイラー＝ラグランジュおよびハミルトン形式からのものと一致するか。

主な発見

• 分数ポアソン括弧は $[x, H_{FO}]_{FP} = {}_{a}^{C}D_{t}^{eta}x$ および $[p_{eta}, H_{FO}]_{FP} = -{}_{t}D_{b}^{eta}p_{eta}$ として定義され、分数的状況下でのハミルトン方程式を再現する。
• 分数ハミルトニアン＝ヤコビ方程式は、分数量子波動方程式の古典的極限（$ar{h} = 0$）として得られる。
• 一様電場内での分数調和振動子に対して、運動方程式 $m_{eta}{}_{t}D_{b}^{eta}{}_{a}^{C}D_{t}^{eta}x = kx + qE$ が、オイラー＝ラグランジュ法および分数ポアソン括弧法の両方で一貫して再現される。
• 分数量子波動方程式は $(\frac{1}{2m_{\beta}}(-i\bar{h}\frac{\nu}{\nu\bar{x}_{\beta}})^2 + \frac{1}{2}kx^2 + qEx)\rho = i\bar{h}\frac{\nu\rho}{\nu t}$ で与えられ、位相空間の波動関数 $\rho = A e^{i\bar{S}_{FO}/\bar{h}}$ を持つ。
• 散乱的分数振動子に対しては、一般化されたオイラー＝ラグランジュ方程式 $-kx + m_{\beta}{}_{t}D_{b}^{eta}{}_{a}^{C}D_{t}^{eta}x - i\frac{\nu}{(-1)^{\nu/2}}{}_{a}D_{t}^{\nu/2}{}_{t}^{C}D_{b}^{\nu/2}x = 0$ が導出され、分数ポアソン括弧形式によって確認された。
• この形式は、分数ハミルトニアン、ポアソン括弧、量子波動方程式の枠組みの間で整合性を保証し、その内部的一致性を検証している。