[論文レビュー] Fractional powers of non-negative operators in Banach spaces via the Dirichlet-to-Neumann operator

Jan Meichsner, Christian Seifert|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間における非稠密に定義された非負作用素の分数乗と、ベッセル型微分方程式を通じてディリクレからノイマンへの作用素との間の関係を確立する。非負作用素 $ A $ が $ \beta \in (0,1) $ に対して分数乗 $ A^\beta $ が、常微分方程式 $ u''(t) + \frac{1-2\beta}{t}u'(t) = Au(t) $ の解に関連するディリクレからノイマンへの作用素の閉包と一致することを、作用素および初期データにやや弱い仮定を課したもとで証明する。

ABSTRACT

We consider fractional powers of non-densely defined non-negative operators in Banach spaces defined by means of the Balakrishnan operator. Under mild assumptions on the operator we show that the fractional powers can partially be obtained by a generalised Dirichlet-to-Neumann operator for a Bessel-type differential equation.

研究の動機と目的

• 非稠密に定義された作用素の分数乗の特徴づけを、密度がある生成子に限らないより一般のバナッハ空間における非稠密に定義された作用素へ拡張すること。
• このような作用素に対して、バラクリシュナンの分数マッチング計算とディリクレからノイマンへの作用素の手法との間の厳密な関係を確立すること。
• 重み付き法線微分の極限として定義されるディリクレからノイマン作用素が、定数倍を除いて分数乗 $ A^\alpha $ と一致することを証明すること。
• ディリクレからノイマン作用素の定義域と、複素補間空間および $ A^\alpha $ の定義域との関係を明確にすること。

提案手法

• バナッハ空間における非負作用素のためのバラクリシュナンの作用素的計算を用いて、分数乗 $ A^\alpha $ を形式的に定式化する。
• バナッハ空間 $ X $ における常微分方程式 $ u''(t) + \frac{1-2\alpha}{t}u'(t) = Au(t) $ を、調和拡張のモデルとして分析する。初期条件は $ u(0) = x $ とする。
• ディリクレからノイマン作用素 $ \overline{T_\alpha} $ を、極限 $ \lim_{t\to 0^+} -t^{1-2\alpha}u'(t) $ の閉包として定義する。これは古典的ノイマントレースの一般化である。
• 修正ベッセル関数 $ K_\alpha $ の積分表現および性質を用いて、乗法作用素の場合のODEの明示的解を計算する。
• 複素補間理論およびスペクトル論を用いて、$ \overline{T_\alpha} $ の定義域と複素補間空間 $ (X, \mathcal{D}(A))_{\alpha} $ の関係を結ぶ。
• ベッセル関数を $ t = 0 $ の近くで漸近展開することにより、トレース極限の一様収束を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間における非稠密に定義された非負作用素の分数乗 $ A^\alpha $ は、ディリクレからノイマン作用素を用いて特徴づけられるか？
• RQ2 常微分方程式 $ u''(t) + \frac{1-2\alpha}{t}u'(t) = Au(t) $ の解 $ u $ に対して、極限 $ \lim_{t\to 0^+} -t^{1-2\alpha}u'(t) $ が定数倍を除いて分数乗 $ A^\alpha $ に一致するか？
• RQ3 ディリクレからノイマン作用素の定義域は、複素補間空間 $ (X, \mathcal{D}(A))_{\alpha} $ とどのように関係するか？
• RQ4 ベッセル型常微分方程式の解 $ u $ は、関連する関数空間において一意的か？ また、その解がトレースが $ A^\alpha $ に収束することを保証するか？
• RQ5 定数 $ c_\alpha $ が $ \overline{T_\alpha} = c_\alpha A^\alpha $ を満たすように正確に何であるか？

主な発見

• 非負作用素 $ A $ に対して、仮定をやや弱くしたもとで $ \alpha \in (0,1) $ に対して分数乗 $ A^\alpha $ がディリクルからノイマン作用素 $ \overline{T_\alpha} $ と一致する。すなわち $ \overline{T_\alpha} = c_\alpha A^\alpha $ が成り立つ。
• ディリクルからノイマン作用素 $ \overline{T_\alpha} $ の定義域は複素補間空間 $ (X, \mathcal{D}(A))_{\alpha} $ に含まれ、追加の正則性条件が満たされれば等号が成り立つ。
• 関数空間 $ C_b(\Omega) $ 上の乗法作用素に対して、ODE の解 $ u(t,x) $ は修正ベッセル関数を用いて明示的に与えられ、トレース極限の直接計算が可能になる。
• 極限 $ \lim_{t\to 0^+} -t^{1-2\alpha}u'(t) $ は点wiseに $ c_\alpha f(x)^\alpha g(x) $ に収束し、$ K_\alpha $ の漸近的解析により一様収束が確立される。
• 定数 $ c_\alpha $ は明示的に $ c_\alpha = \frac{2^{1-2\alpha} \Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(\alpha)} $ として求められ、既知の文献値と一致する。
• $ \varepsilon \to 0^+ $ のとき $ (f+\varepsilon)^\alpha g \to f^\alpha g $ が $ C_b(\Omega) $ 内で収束することを確認することで、$ g \in \mathcal{D}(A^\alpha) $ であることが示され、作用素の閉包性が裏付けられる。