[論文レビュー] Fractional Quantum Hall Effect and M-Theory

Cumrun Vafa|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$SL(2,\bbC)$ および $SL(2,\bbR)\times SL(2,\bbR)$ チャーン・シンムス理論を用いて、分数量子ホール効果（FQHE）を統一的に記述するM理論フレームワークを提案する。この理論は、FQHEをバーラジオ・代数および超バーラジオ代数の最小模型と結びつける。FQHEの主系列状態における準粒子の統計がアーベル的でないことを予測するが、これは標準的な階層モデルや複合フェルミ粒子モデルとは対照的である。このフレームワークは、$\nu = n/(2n\pm1)$ や $\nu = m/(m+2)$ といった実験的に観測されたホール状態をパラメータフリーかつユニタリに記述可能であり、トポロジカル量子計算への応用を示唆する。

ABSTRACT

We propose a unifying model for FQHE which on the one hand connects it to recent developments in string theory and on the other hand leads to new predictions for the principal series of experimentally observed FQH systems with filling fraction $ν={n\over 2n\pm1}$ as well as those with $ν={m\over m+2}$. Our model relates these series to minimal unitary models of the Virasoro and superVirasoro algebra and is based on $SL(2, {\bf C})$ Chern-Simons theory in Euclidean space or $SL(2,{\bf R}) imes SL(2,{\bf R})$ Chern-Simons theory in Minkowski space. This theory, which has also been proposed as a soluble model for 2+1 dimensional quantum gravity, and its N=1 supersymmetric cousin, provide effective descriptions of FQHE. The principal series corresponds to quantized levels for the two $SL(2,{\bf R})$'s such that the diagonal $SL(2,{\bf R})$ has level $ 1$. The model predicts, contrary to standard lore, that for principal series of FQH systems the quasiholes possess non-abelian statistics. For the multi-layer case we propose that complex ADE Chern-Simons theories provide effective descriptions, where the rank of the ADE is mapped to the number of layers. Six dimensional $(2,0)$ ADE theories on the Riemann surface $Σ$ provides a realization of FQH systems in M-theory. Moreover we propose that the q-deformed version of Chern-Simons theories are related to the anisotropic limit of FQH systems which splits the zeroes of the Laughlin wave function. Extensions of the model to 3+1 dimensions, which realize topological insulators with non-abelian topologically twisted Yang-Mills theory is pointed out.

研究の動機と目的

• 分数量子ホール効果（FQHE）を最近の超弦理論およびM理論の発展と統一すること。
• 実験的に観測されたFQHE状態（ホール数 $\nu = n/(2n\pm1)$ および $\nu = m/(m+2)$）をパラメータフリーかつユニタリに記述すること。
• 主系列FQHEにおける準粒子がアーベル的であるという従来の常識に反し、最小模型の結合代数を用いて非アーベル統計を予測すること。
• ADEチャーン・シンムス理論を用いて多層FQHEに拡張すること、およびq変形Toda理論を用いて5次元非等方的FQHEに拡張すること。
• FQHEの端モードを2次元CFTのチャーラルブロックと関連付け、モノドロミー構造を用いて体積内のトポロジカル秩序を同定すること。

提案手法

• ユークリッド空間における $SL(2,\bbC)$ チャーン・シンムス理論とミンコフスキー空間における $SL(2,\bbR)\times SL(2,\bbR)$ チャーン・シンムス理論を用いてFQHEの有効理論を定式化し、量子化されたレベルがホール数に対応する。
• 主系列 $\nu = n/(2n\pm1)$ を $SL(2,\bbR)$ のレベル $(-2n, 2n\pm1)$ に対応させ、準粒子の結合代数をバーラジオ代数の $(2n, 2n\pm1)$ 営利最小模型に関連付ける。
• $\nu = m/(m+2)$ の場合、$N=1$ スーパーバーラジオ最小模型を用い、$(m, m+2)$ シリーズの結合代数を導入する。
• Toda CFTの正則ブロックから波動関数を構成し、カルタン行列と変形パラメータ $b^2 = -(2p\pm1)/(2p)$ から得られる指数を用いる。
• リーマン面に特異点（穴）を導入し、$\prod (z_i - w)^{-m}$ および $\exp(\oint W(z)\partial\phi)$ をそれぞれ正則および不規則な穴としてモデル化する。
• q変形Toda理論を用いて5次元系に拡張し、ラウフリン波動関数のゼロ点が $\prod_{i=1}^m [q^{i/2}e^{x_1} - q^{-i/2}e^{x_2}]$ に分裂することを示し、非等方的FQHEのモデル化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数量子ホール効果は、1つのM理論に由来するチャーン・シンムス理論フレームワークで統一可能か？
• RQ2 主系列FQHE状態 $\nu = n/(2n\pm1)$ および $\nu = m/(m+2)$ は、複合フェルミ粒子および階層モデルの予測とは対照的に非アーベル統計を示すか？
• RQ3 特に荷電の下流および中性の上流電流からなるFQHEの端モードは、どのように体積のチャーン・シンムス理論から生じるか？
• RQ4 多層FQHE系は、複素ADEチャーン・シンムス理論で記述可能であり、ADEのランクが層数に対応するか？
• RQ5 q変形は非等方的FQHEをモデル化する上で果たす役割は何か？また、ラウフリン波動関数のゼロ点構造はどのように変化するか？

主な発見

• モデルは、主系列 $\nu = n/(2n\pm1)$ における準粒子の非アーベル統計を予測し、バーラジオ代数の $(2n, 2n\pm1)$ 営利最小模型の結合則に基づく。
• $\nu = m/(m+2)$ の場合、結合代数は $N=1$ スーパーバーラジオ最小模型 $(m, m+2)$ に対応し、最初の例（$m=1$）は $\nu = 1/2$ におけるムーア・リード状態に対応する。
• ホール数行列は $\nu = \frac{2p}{2p\pm1} C^{-1}$ で与えられ、$C$ は $A_{N-1}$ のカルタン行列であり、$N-1$ は層数である。これはADE Toda理論に適用可能である。
• 単層系（$C=2$）では主系列 $\nu = 2p/(2p\pm1)$ が再現され、$p=1$ の場合 $\nu = 1/3$ となり、ラウフリンの状態と一致する。
• 鋭い端の境界条件はチャーラルブロックとは異なるCFTを生成するが、$c_L - c_R$ は同じであり、下流の荷電電流および上流の中性電流を予測する。
• 5次元のq変形拡張では、ラウフリン波動関数のゼロ点が $\prod_{i=1}^m [q^{i/2}e^{x_1} - q^{-i/2}e^{x_2}]$ に分裂し、円筒幾何の非等方的FQHE系における物理的実現を示唆する。