[論文レビュー] Fractional Quantum Hall Matrix Product States For Interacting Conformal Field Theories

Benoit Estienne, Nicolas Regnault+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Quantum and electron transport phenomena参考文献 42被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、補助的な結合空間をCFTの後継状態のヒルベルト空間とする、分数量子ホール（FQH）状態の正確な行列積状態（MPS）表現を構築する形式的枠組みを提示する。この手法により、円筒および細いアニュラス上ではサイト独立MPSが得られ、ディスクおよび球面上ではサイト依存MPSが得られ、CFTの交換関係とノルムベクトルの取り扱いを通じて、エンタングルメントスペクトルおよび行列要素の効率的計算が可能になる。

ABSTRACT

Using truncated conformal field theory (CFT), we present the formalism necessary to obtain exact matrix product state (MPS) representations for any fractional quantum hall model state which can be written as an expectation value of primary fields in some conformal field theory. The auxiliary bond space is the Hilbert space of the descendants of primary fields and matrix elements can be calculated using well-known CFT commutation relations. We obtain a site-independent MPS representation on the thin annulus and cylinder, while a site-dependent representation is possible on the disk and sphere geometries. We discuss the complications that arise due to the presence of null vectors in the theory's Hilbert space, and present an array of procedures which optimize the numerical calculation of matrix elements. By truncating the Hilbert space of the CFT, we then build an approximate MPS representation for Laughlin, Moore-Read, Read-Rezayi, Gaffnian, minimal $M(3,r+2)$ models, and a series of superconformal minimal models. We show how to obtain, in the MPS representation, the Orbital, Particle, and Real Space entanglement spectrum in both the finite and infinite systems.

研究の動機と目的

• 分数量子ホール（FQH）状態の正確な行列積状態（MPS）表現を、共形場理論（CFT）を用いて体系的に構築する方法を開発すること。
• FQH状態のヒルベルト空間の指数的スケーリングを克服するため、それらをより小さな効率的なMPS表現に置き換えること。
• 有限および無限系において、軌道、粒子、実空間のエンタングルメントスペクトルをMPS形式を用いて効率的に計算すること。
• CFTヒルベルト空間内のノルムベクトルに起因する複雑さを、行列要素計算の正確性と安定性を保つために最適化された数値的手法で取り扱うこと。
• 補助空間の切断とトリミングを用いて、最小モデルおよび超共形理論を含む相互作用を有するCFTへとこの手法を拡張すること。

提案手法

• 一次的場の関与するCFT相関関数へのFQH状態の写像を通じて、円筒および細いアニュラス上でのサイト独立MPSを構築する。
• 補助結合空間としてCFT後継状態のヒルベルト空間を用い、既知のCFT交換関係を用いて行列要素を計算する。
• CFTヒルベルト空間の切断スキームを適用し、ラウリン、ムーア＝リード、リード＝レザイ、ガフィニアン、および超共形最小モデルなどの主要なFQH状態の近似MPS表現を得る。
• 補助空間内の物理的でないまたは冗長な状態を除去するトリミング手順を実装し、数値的効率を向上させる。
• MPS転送行列のブロック構造を導出し、重ね合わせや期待値の効率的計算に用いる。
• Canonical形式および固定点技術を適用して、MPS表現の数値的安定化と最適化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形場理論（CFT）を用いて、FQH状態の正確な行列積状態（MPS）表現を体系的に導出可能か？
• RQ2 CFTヒルベルト空間内に存在するノルムベクトルは、MPS形式における行列要素計算の正確性と安定性を保つためにどのように取り扱えるか？
• RQ3 FQH状態のMPS表現における補助結合空間の構造は何か？また、CFT後継状態とどのように関係するか？
• RQ4 有限および無限系において、MPSフレームワーク内で軌道、粒子、実空間のエンタングルメントスペクトルを効率的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ5 物理的正確性を保持しつつ計算コストを最小化するための、CFTヒルベルト空間の最適な切断およびトリミングスキームは何か？

主な発見

• 本稿は、CFT相関関数としての正確なMPS表現をFQH状態に導く形式的枠組みを確立し、円筒および細いアニュラス上ではサイト独立行列を有する。
• ディスクおよび球面幾何におけるサイト依存MPS表現が導出され、より広範な幾何的適用性が得られる。
• CFTヒルベルト空間の切断により、ラウリン、ムーア＝リード、リード＝レザイ、ガフィニアン、および超共形最小モデルなどの主要なFQH状態の近似MPS表現が可能になる。
• MPS転送行列を用いることで、有限および無限系において軌道、粒子、実空間のエンタングルメントスペクトルが効率的に計算可能になる。
• MPS行列のブロック構造と転送行列の使用により、重ね合わせや期待値の計算が効率的に行える。
• 物理的でない状態を補助空間から除去するトリミング手順が開発され、特にトポロジカルセクターが非自明なムーア＝リードおよびリード＝レザイ状態において、数値的安定性と効率性が向上する。