[論文レビュー] Fractional Schrödinger-Poisson-Slater system in one dimension

Anna Rita Giammetta|arXiv (Cornell University)|May 12, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ポisson方程式に分数ラプラシアンを含む1次元分数シュレーディンガー＝ポアソン＝スレイター系（FSPS）の局所的および大域的適切性を確立する。$L^2$および$H^1$空間におけるストリカルツ推定と収縮法を用いて、$\gamma \in (1,5)$および$\sigma \in (0,1)$の下で解の存在および一意性を証明する。$\gamma=3$かつ$\sigma \leq 1/2$のとき、初期質量または初期エネルギーが小さい条件下で大域的解が得られる。

ABSTRACT

In this paper we study local and global well-posedness of the following Cauchy problem: $$ \bigg \{ \begin{array}{rl} i\partial_tΨ+\frac{1}{2}Δ_{x}Ψ= A_0Ψ+α|Ψ|^{γ-1}Ψ, & (t,x)\in\R imes\R,\\ (-Δ_{x})^{σ/2}A_0= |Ψ|^2, & \\ Ψ(0,\cdot)=f, & \end{array} $$ with $σ\in(0,1)$, $α=\pm 1$, $1

研究の動機と目的

• 非局所的相互作用を伴う分数ラプラシアンを用いた1次元分数シュレーディンガー＝ポアソン＝スレイター（FSPS）系の局所的および大域的適切性を確立すること。
• 一般の$\gamma \in (1,5]$および$\sigma \in (0,1)$の下で、$L^2(\mathbb{R})$および$H^1(\mathbb{R})$に属する初期データをもつコーシー問題を解析すること。
• 分数ラプラシアンを用いることで、$A_0$の無限遠における境界条件の必要性を排除すること。
• 解析的課題を伴う長距離相互作用を$(-\Delta)^{\sigma/2}$（$\sigma < 1$）でモデル化した場合の適切性結果を拡張すること。

提案手法

• シュレーディンガー群$S(t) = e^{i\Delta t/2}$を用いて、FSPS系を積分方程式に書き直す。
• 適切な対$(q,r)$を用いたストリカルツ推定を適用し、混合ノルム空間における解の制御を行う。
• 畳み込み推定およびハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を用いて、分数ポアソン方程式に起因する非局所項$A_0\Psi$を処理する。
• $L^2$および$H^1$空間における収縮写像法を用いて、局所的解の存在および一意性を証明する。
• $L^p-L^q$型のグローヴァル型不等式を適用し、$\gamma=3$、$\sigma \leq 1/2$のとき、$L^4(0,T;L^\infty)$における成長を制御し、爆発を防ぐ。
• ガガリャルド＝ニレングラートおよびエネルギー推定を用いて、振動速度$\theta(t)$の有界性を示し、有限エネルギーまたは小質量条件下で爆発しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\sigma$および$\gamma$がどのような条件下で、1次元分数シュレーディンガー＝ポアソン＝スレイター系のコーシー問題が$L^2(\mathbb{R})$において一意な局所的解をもつか。
• RQ2 $\gamma=3$かつ$\sigma \leq 1/2$のとき、無限遠における$A_0$の境界条件がなくても、大域的解を確立できるか。
• RQ3 分数ラプラシアン$(-\Delta)^{\sigma/2}$は、古典的$(-\Delta)$の場合と比較して、解の適切性および正則性にどのように影響を与えるか。
• RQ4 焦点外の場合（$\alpha = -1$）において、初期質量または初期エネルギーが、振動速度$\theta(t)$の爆発を防ぐ役割を果たすか。
• RQ5 局所的非線形項$|\Psi|^{\gamma-1}\Psi$と同様の枠組みで、ストリカルツ推定および畳み込み推定を用いて非局所項$A_0\Psi$を制御できるか。

主な発見

• $f \in L^2(\mathbb{R})$および$\gamma \neq 5$のとき、$T = T(\|f\|_{L^2}) > 0$および$I_\gamma \subseteq (0,1)$が存在し、任意の適切な対$(q,r)$に対して、$\Psi \in C([0,T];L^2) \cap L^q([0,T];L^r)$である一意な解が存在する。
• $\gamma = 3$のとき、すべての$\sigma \in (0,1/2]$に対して結果が成り立ち、初期質量が小さいか有限エネルギーの下で大域的解が確立される。
• すべての$t \in (0,T)$に対して、$\|\Psi\|_{L^4(0,t;L^\infty)} < \infty$が成り立ち、これは$\|f\|_{L^2}$および$\sigma$に依存する有界性を保証し、このノルムにおける爆発を防ぐ。
• すべての$t \in (0,T)$に対して、$1 < \gamma < 5$および$\sigma \in I_\gamma$、または$\gamma = 5$かつ$\|f\|_{L^2}$が十分に小さいとき、振動速度$\theta(t) = \int_\mathbb{R} |\Psi|^2 \partial_t S \, dx$は有界のままである。
• 非局所項$A_0\Psi$は、分数ポアソン方程式$(-\Delta)^{\sigma/2}A_0 = |\Psi|^2$を用いて制御され、$A_0$はハーディ＝リトルウッド＝ソボレフおよび補間不等式を用いて推定される。
• $L^p-L^q$グローヴァル不等式を適用し、$\|\Psi\|_{L^4(0,t;L^\infty)}$の明示的境界を得る。$\sigma < 1/2$のとき、境界は時間に関して多項式的成長を示す。