[論文レビュー] Fractional SPDEs driven by spatially correlated noise: existence of the solution and smoothness of its density

Boulanba, Lahcen, Eddahbi, M'hamed+1 more|Osaka City University (Osaka City University)|Oct 25, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、任意の空間次元において、空間的に相関するガウスノイズと分数階微分作用素によって駆動される確率的偏微分方程式（SPDE）のクラスに対して、解の存在、一意性、および Hölder 正則性を確立する。マルティニアン計算を用いて、解の分布がLebesgue測度に関して滑らかな密度を有することをさらに証明し、従来の結果をホワイトノイズや整数階ラプラシアンに限らない、より広いノイズおよび分数階作用素のクラスへと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study a class of stochastic partial differential equations in the whole space $\mathbb{R}^{d}$, with arbitrary dimension $d\geq 1$, driven by a Gaussian noise white in time and correlated in space. The differential operator is a fractional derivative operator. We show the existence, uniqueness and Hölder's regularity of the solution. Then by means of Malliavin calculus, we prove that the law of the solution has a smooth density with respect to the Lebesgue measure.

研究の動機と目的

• 空間次元 $\mathbb{R}^d$（$d \geq 1$）における分数階微分作用素と空間的に相関するノイズを伴う確率的偏微分方程式（SPDE）の解の存在と一意性を確立すること。
• 解過程の時間および空間変数における Hölder 正則性を証明すること。
• 固定された $t > 0$ および $x \in \mathbb{R}^d$ における解 $u(t,x)$ の確率密度関数の存在と滑らかさを調査すること。
• 従来の空間時空ホワイトノイズによって駆動されるSPDEに関する結果を、$\alpha_i \in (0,2)\setminus\{1\}$ であるより一般で滑らかなノイズ構造および分数階作用素へと拡張すること。
• 特に Lévy 稳定過程および非局所的ダイナミクスを含む文脈において、異常拡散および粒子相互作用をモデル化するためのSPDEの厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 分数階微分作用素 $\mathcal{D}_{\delta}^{\alpha}$ のフーリエ変換表現に基づく分析であり、その記号 $S_{\alpha}(\xi)$ によって定義される。
• ノイズのスペクトル測度 $\mu$ の適切な可積分性条件の下で、適切な関数空間における弱い表現と不動点議論を用いて、解の存在と一意性を確立する。
• 解の Hölder 正則性は、モーメント推定と時間および空間における畳み込みに対する一般化されたヤングの不等式の使用により導出される。
• マルティニアン計算を解過程に適用し、特にマルティニアン行列の非退化性に注目して、その有限次元分布の正則性を分析する。
• 滑らかな密度の証明は、マルティニアン共分散行列の非退化性と、マルティニアン計算フレームワークにおける超楕円的基準の使用に依存する。
• 重要な技術的道具は、$\mu$ の無限遠における減衰を制御する仮定 $\mathbf{(H}_{\eta}^{\alpha})$ であり、密度解析における重要な項の可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に相関するノイズによって駆動されるSPDE $Eq_{\delta}^{\alpha}(d,b,\sigma)$ が $\mathbb{R}^d$ で一意な解を有するための条件は何か？
• RQ2 解 $u(t,x)$ の Hölder 正則性は時間および空間でどのように定まり、パラメータ $\alpha_i$、$\delta_i$ およびノイズ構造に依存するか？
• RQ3 固定された $t>0$ および $x \in \mathbb{R}^d$ における解 $u(t,x)$ の分布がLebesgue測度に関して滑らかな密度を有するか？
• RQ4 空間時空ホワイトノイズと比較してノイズの滑らかさが、解の存在および正則性、およびその密度に与える影響は何か？
• RQ5 ノイズのスペクトル測度 $\mu$ は、マルティニアン行列の非退化性を保証し、結果として密度の滑らかさを確保するために果たす役割は何か？

主な発見

• 解 $u(t,x)$ は、$b$ および $\sigma$ の適切な成長およびリプシッツ条件と、ノイズのスペクトル測度 $\mu$ の可積分性の下で存在し、一意的である。
• 解は時間および空間変数において Hölder 継続的であり、その正則性はパラメータ $\alpha_i$、$\delta_i$ およびノイズのスペクトル挙動に依存する。
• 任意の固定された $t>0$ および $x \in \mathbb{R}^d$ における $u(t,x)$ の分布は、Lebesgue 測度に関して滑らかな密度を有する。これはマルティニアン計算によって確立された。
• $\mathbf{(H}_{\eta}^{\alpha})$ の仮定の下で、マルティニアン共分散行列の非退化性が保証され、密度解析における重要な項の可積分性が保証される。
• 従来の空間時空ホワイトノイズによって駆動されるSPDEに関する結果を一般化し、特に $\alpha_i$ の許容範囲（$\alpha_i < 1$ を含む）を拡張し、ホワイトノイズより滑らかなノイズを許容する。
• $\mathbf{(H}_{\eta}^{\alpha})$ の条件は、$\beta < \alpha_0(1 - \eta)/2$ の下で、$\int_{\{S_{\alpha}(\xi) > 1\}} (S_{\alpha}(\xi))^{\frac{2\beta}{\alpha_0} - 1} \mu(d\xi)$ の可積分性を十分に保証する。これは密度滑らかさの証明において本質的である。