[論文レビュー] Fractional spin - a property of particles described with a fractional Schroedinger equation

Richard Herrmann|ArXiv.org|May 22, 2008

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、分数階シュレーディンガー方程式に従う粒子が、分数階微分を用いた空間的回転に対する不変性から、内在的な分数スピンを示すことを提案する。主な結果は、$\alpha \neq 1$ の場合、ハミルトニアンが分数階角運動量演算子 $J^{2\alpha-1}_z$ と可換になることである。この演算子は、標準的な軌道的角運動量と、新たな分数階スピン成分 $S^{2\alpha-1}_z = \vec{r} \times \delta\vec{p}$ に分解され、ここで $\delta\vec{p}$ は分数階微分と通常の微分の間の運動量差を表す。

ABSTRACT

It is shown, that the requirement of invariance under spatial rotations reveales an intrinsic fractional extended translation-rotation-like property for particles described with the fractional Schroedinger equation, which we call fractional spin.

研究の動機と目的

• 分数シュレーディンガー方程式で記述される粒子の内部対称性構造を調査すること。
• このような粒子が、標準的スピンを越えて内在的な角運動量性質を有するかどうかを特定すること。
• ハミルトニアンにおける分数階微分から生じる、新しいタイプのスピンに類似た量子数を同定すること。
• 分数ハミルトニアンと可換な分数階角運動量演算子の数学的枠組みを確立すること。
• 回転対称性と可換関係を通じて、分数階微分の量子力学的解釈を明確にすること。

提案手法

• 本稿では、一般演算子としてのリーマン＝リウヴィル型またはリウヴィル型分数階微分 $\partial^\alpha_x$ を用いた分数階微分法を採用する。
• 分数階微分の $\hbar/mc$ のべきを用いて、一般化された運動量および位置演算子 $\hat{P}_\mu$ と $\hat{X}_\mu$ を定義し、座標および運動量表現における非整数スケーリングを導入する。
• 分数階角運動量演算子 $K^\beta_z$ を導入し、$\beta = 2\alpha - 1$ とすることで、$J^{2\alpha-1}_z$ がハミルトニアン $H^\alpha$ と可換になり、保存則が保証されるようにする。
• 分数階スピンは $S^{2\alpha-1}_z = x\delta p_y - y\delta p_x$ として定義され、ここで $\delta p_i = i\left(\left(\hbar/mc\right)^{2\alpha-1}mc\partial^{2\alpha-1}_i - \hbar\partial_i\right)$ であり、分数階微分に起因する運動量のずれを表す。
• 分数階全角運動量の可換関係を導出し、$\alpha$、$\hbar$、$mc$ に依存する非標準的な代数的構造を示す。
• 分数階微分のライブニッツ積則を用いて、$J^{2\alpha-1}_z$ とハミルトニアンの間の可換子を計算し、$\alpha \neq 1$ の場合に保存則が成立することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数シュレーディンガー方程式は、標準的ケース（$\alpha = 1$）に存在しない新しいタイプの内在的角運動量を生じるか？
• RQ2 分数量子力学において、回転対称性と可換関係を通じて、分数スピン量子数を一貫して定義できるか？
• RQ3 分数階角運動量演算子の代数的構造は何か？ そして、標準的 $su(2)$ 代数とはどのように異なるか？
• RQ4 分数フレームワークにおける運動量演算子は、標準的ものとどのように異なるか？ その物理的解釈は何か？
• RQ5 パrameter $\alpha$ は、分数粒子の内部自由度の性質を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $\alpha \neq 1$ の場合、分数シュレーディンガー方程式は、標準的角運動量との非ゼロ可換子によって明らかにされる、内在的な内部構造を持つ粒子を記述する。
• 演算子 $J^{2\alpha-1}_z = K^{2\alpha-1}_z$ はハミルトニアン $H^\alpha$ と可換であり、保存則が保証されるため、分数階全角運動量としての役割を果たす。
• 分数階スピン成分 $S^{2\alpha-1}_z$ は $x\delta p_y - y\delta p_x$ として定義され、ここで $\delta p_i$ は分数階と通常の運動量演算子の差を表す。
• 分数階スピンは、分数階微分の非局所性と非整数スケーリングに起因する、回転に対する非自明な変換性に起因する。
• 演算子 $J^{2\alpha-1}_{x,y,z}$ の可換関係は、修正された代数的構造を示す：$[J^{2\alpha-1}_x, J^{2\alpha-1}_y] = (2\alpha-1)\frac{\hbar}{mc} J^{2\alpha-1}_z p_z^{2(\alpha-1)}$ であり、非標準的なリーマン代数的構造を示している。
• $\alpha = 1$ の場合、分数階スピン演算子は消え、標準的量子力学的ケースに回復する。これにより、分数スピンが $\alpha \neq 1$ の場合に特徴的な性質であることが確認される。