[論文レビュー] FRACTIONAL STOCHASTIC ACTIVE SCALAR EQUATIONS GENERALIZING THE MULTI-D-QUASI-GEOSTROPHIC & 2D-NAVIER-STOKES EQUATIONS. -SHORT NOTE-

Latifa Debbi|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所リプシッツ連続な拡散を伴う乗法的ノイズ下で、d次元の分数階確率的アクティブスカラー方程式のクラスに対して、弱解のグローバル存在、一意性、正則性を確立する。主な貢献は、自由発散モードにおける亜臨界的領域（α > α₀）において、グローバル弱解が存在するための臨界閾値 α₀(d) = 1 + (d−1)/3 の特定である。

ABSTRACT

We prove the well posedness: global existence, uniqueness and regularity of the solutions, of a class of d-dimensional fractional stochastic active scalar equations. This class includes the stochastic, dD-quasi-geostrophic equation, $ d\geq 1$, fractional Burgers equation on the circle, fractional nonlocal transport equation and the 2D-fractional vorticity Navier-Stokes equation. We consider the multiplicative noise with locally Lipschitz diffusion term in both, the free and no free divergence modes. The random noise is given by an $Q-$Wiener process with the covariance $Q$ being either of finite or infinite trace. In particular, we prove the existence and uniqueness of a global mild solution for the free divergence mode in the subcritical regime ($\alpha>\alpha_0(d)\geq 1$), martingale solutions in the general regime ($\alpha\in (0, 2)$) and free divergence mode, and a local mild solution for the general mode and subcritical regime. Different kinds of regularity are also established for these solutions. The method used here is also valid for other equations like fractional stochastic velocity Navier-Stokes equations (work is in progress). The full paper will be published in Arxiv after a sufficient progress for these equations.

研究の動機と目的

• d次元の分数階確率的アクティブスカラー方程式の広範なクラスに対する解の適切性（グローバル存在、一意性、正則性）を確立すること。
• 有限または無限のトレースを持つQウィーナー過程を用いた確率的摂動を含めた解析を拡張し、自由発散モードおよび非自由発散モードをカバーすること。
• 自由発散条件下での亜臨界的領域におけるグローバル弱解の存在のための臨界閾値 α₀(d) = 1 + (d−1)/3 を特定すること。
• 一般領域（α ∈ (0, 2)）において、型2のバナッハ空間へのヒルベルト空間技法の一般化を行い、マルティンゲール解の構成を試みること。
• 構成的技法を用いて一般モードおよび亜臨界的領域における局所的弱解を提供し、詳細な正則性推定を行うこと。

提案手法

• 共分散Qが有限または無限トレースを持つQウィーナー過程によって駆動される抽象的確率的発展方程式として問題を定式化すること。
• 2 ≤ q < ∞ および δ ≥ 0 のための空間 Hδ,q(Td) において、UMDバナッハ空間理論を適用し、ヒルベルト空間手法をバナッハ空間設定へ拡張すること。
• ノイズ項 G(t, θ) の表現を、γ-ラドニフィング作用素を用いて特徴づけ、解が所望の正則性クラスに留まることを保証すること。
• 半群 e−Aαt と確率的畳み込みを含む弱解の定式化を用い、乗法的ノイズおよび非線形項を処理すること。
• 停止時刻の技法と局所化を用いて、グローバル存在が保証できない場合の局所的弱解を構成すること。
• エネルギー推定と埋め込み定理を用いて正則性を確立し、特に L²-型ノルムにおける β ≤ α/2 − d/2 + d/q の場合を対象とすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階確率的アクティブスカラー方程式の自由発散モードにおけるグローバル存在のための臨界閾値 α₀(d) は何か？
• RQ2 ノイズが乗法的かつ局所リプシッツ連続である場合、型2のバナッハ空間において確率的アクティブスカラー方程式の適切性はどのように確立できるか？
• RQ3 一般領域（α ∈ (0, 2)）において自由発散状態でマルティンゲール解を構成できるか？また、その正則性はどの程度か？
• RQ4 初期データおよびノイズ係数 G にどのような条件が課されれば、一般モードにおける局所的弱解の存在と正則性が保証されるか？
• RQ5 解の正則性は、分数階 α、空間次元 d、可積分性指数 q にどのように依存するか？

主な発見

• d ∈ {1, 2, 3} の場合、α > α₀(d) = 1 + (d−1)/3 であれば、自由発散モードにおいて一意なグローバル弱解が存在し、β ≤ α/2 − d/2 + d/q を満たす解は L∞(0, T; Lq) ∩ L²(0, T; Hβ,q) に属する。
• 解は E[sup[0,T] |θ(t)|qLq + ∫₀ᵀ |θ(t)|²Hβ,q dt] < ∞ を満たし、強いモーメントバインディングを確認する。
• d ∈ {2, 3} の場合、以下の2つの追加ケースでもグローバル解が存在する：(1) 3d/(d−1) ≤ q ≤ ∞ かつ d − 2d/q < α ≤ 2、(2) d/(α−1) < q ≤ q₀ ≤ 3d/(d−1) かつ 1 + d/q < α ≤ 2。
• 仮定 (B) において δ > 0 が成り立つ場合、解は追加の正則性を示す：θ(·, ω) ∈ L∞(0, T; Hδ₁,q) で、0 ≤ δ₁ ≤ min{δ, α−1−d/q} を満たす。
• 一般モードおよび亜臨界的領域において、Lp(Ω; L∞(0, τ∞; Hδ₁,q) ∩ C([0, τ∞); H−δ′′,q)) に属する局所的弱解が存在し、δ′′ ≥ α + 1 + d/q − δ を満たす。
• 一般領域（α ∈ (0, 2)）および自由発散モードにおいて、弱形式（2.6）–（2.7）を満たすマルティンゲール解が存在し、q = 2 の場合、解は L∞(0, T; L²) ∩ L²(0, T; Hα/2,2) に属する。d(1−2/q) ≤ α ≤ 2 および適切な q を満たす場合に成立する。